Algebraic and Differential Methods for Nonlinear Control Theory: Elements of Commutative Algebra and Algebraic Geometry

این کتاب آغازگر کوتاهی در ریاضیات مهندسی با نگاهی به کاربردها در تئوری کنترل غیرخطی است. به طور خاص، برخی از مفاهیم اولیه جبر جابجایی و هندسه جبری را معرفی می کند که مجموعه ای از ابزارها را کاملاً متفاوت از رویکردهای سنتی به موضوع موضوع ارائه می دهد.

این متن با مطالعه مجموعه ابتدایی و نظریه نقشه آغاز می شود. فصل های 2 و 3 به ترتیب در مورد نظریه گروه و حلقه ها به دلیل ارتباط مهم آنها با جبر خطی، گروه نقشه های خطی معکوس (یا ماتریس ها) و حلقه نقشه های خطی یک فضای برداری گنجانده شده است. در این مرحله به هممورفیسم ها و ایده آل ها نیز پرداخته می شود. فصل 4 به نظریه ماتریس ها و سیستم های معادلات خطی اختصاص دارد. فصل 5 اطلاعاتی در مورد جایگشت، تعیین کننده ها و معکوس یک ماتریس می دهد. فصل 6 به فضاهای برداری روی یک میدان می پردازد، فصل 7 به نقشه های خطی می پردازد. تبدیلات خطی و علاوه بر آن کاربرد برخی قضایای انتزاعی در نظریه کنترل خطی مانند مفهوم هسته، تصویر و ابعاد فضاهای برداری به تصویر کشیده شده است. فصل 8 قطر یک ماتریس و اشکال متعارف آنها را در نظر می گیرد. در فصل 9 مقدمه ای کوتاه بر روش های ابتدایی برای حل معادلات دیفرانسیل ارائه می شود و در نهایت در فصل 10 نظریه کنترل غیرخطی از دیدگاه جبر دیفرانسیل معرفی شده است.

This book is a short primer in engineering mathematics with a view on applications in nonlinear control theory. In particular, it introduces some elementary concepts of commutative algebra and algebraic geometry which offer a set of tools quite different from the traditional approaches to the subject matter.

This text begins with the study of elementary set and map theory. Chapters 2 and 3 on group theory and rings, respectively, are included because of their important relation to linear algebra, the group of invertible linear maps (or matrices) and the ring of linear maps of a vector space. Homomorphisms and Ideals are dealt with as well at this stage. Chapter 4 is devoted to the theory of matrices and systems of linear equations. Chapter 5 gives some information on permutations, determinants and the inverse of a matrix. Chapter 6 tackles vector spaces over a field, Chapter 7 treats linear maps resp. linear transformations, and in addition the application in linear control theory of some abstract theorems such as the concept of a kernel, the image and dimension of vector spaces are illustrated. Chapter 8 considers the diagonalization of a matrix and their canonical forms. Chapter 9 provides a brief introduction to elementary methods for solving differential equations and, finally, in Chapter 10, nonlinear control theory is introduced from the point of view of differential algebra.