Algebra: Rings, Modules and Categories I

VI سخنرانی های اورگان در سال 1962، باس اثبات های ساده ای از تعدادی از "قضیه های موریتا" ارائه کرد، که ایده های چیس و شانوئل را در بر می گرفت. یکی از قضایای موریتا زمانی را مشخص می کند که معادلی از مقولات mod-A R::! mod-B برای دو حلقه A و B. راه‌حل موریتا ایده‌ها را چنان کارآمد سازمان می‌دهد که قضیه کلاسیک Wedderburn-Artin یک نتیجه ساده است، و علاوه بر این، یک کلاس شباهت [AJ در گروه Brauer Br(k) جبرهای آزومایا بر روی یک جابجایی است. حلقه k از تمام جبرهای B تشکیل شده است به طوری که دسته های مربوطه mod-A و mod-B متشکل از مورفیسم های خطی k با یک تابع خطی k معادل هستند. (برای میدان‌ها، Br(k) از کلاس‌های شباهت جبرهای مرکزی ساده تشکیل شده است، و برای k جایگزینی دلخواه، این زیر گروه Azumaya [51] 1 و Auslander-Goldman [60J Brauer] قرار می‌گیرد.) نمونه‌های متعدد دیگری از عروسی تئوری و دسته بندی حلقه (البته عروسی با تفنگ گلوله ای!) در متن موجود است. علاوه بر این، در تلاشم برای ساده‌سازی بیشتر اثبات‌ها، به‌ویژه برای از بین بردن نیاز به محصولات تانسور در نمایش باس، رگه‌ای از ایده‌ها و قضایای جدید را کشف کردم که کاملاً در تئوری حلقه قرار دارند. این قسمت بیشتر فصل 4 را تشکیل می دهد - قضیه موریتا قضیه 4 است. 29- و مبنای آن یک قضیه همبستگی برای مدول های تصویری است (قضیه 4. 7) که توسط زمینه موریتا پیشنهاد شده است. به عنوان یک محصول جانبی، این پایه و اساس یک نظریه نسبتاً کامل از حلقه‌های نوتری ساده را فراهم می‌کند - اما اطلاعات بیشتری در مورد این در مقدمه وجود دارد.

VI of Oregon lectures in 1962, Bass gave simplified proofs of a number of "Morita Theorems", incorporating ideas of Chase and Schanuel. One of the Morita theorems characterizes when there is an equivalence of categories mod-A R::! mod-B for two rings A and B. Morita's solution organizes ideas so efficiently that the classical Wedderburn-Artin theorem is a simple consequence, and moreover, a similarity class [AJ in the Brauer group Br(k) of Azumaya algebras over a commutative ring k consists of all algebras B such that the corresponding categories mod-A and mod-B consisting of k-linear morphisms are equivalent by a k-linear functor. (For fields, Br(k) consists of similarity classes of simple central algebras, and for arbitrary commutative k, this is subsumed under the Azumaya [51]1 and Auslander-Goldman [60J Brauer group. ) Numerous other instances of a wedding of ring theory and category (albeit a shot­ gun wedding!) are contained in the text. Furthermore, in. my attempt to further simplify proofs, notably to eliminate the need for tensor products in Bass's exposition, I uncovered a vein of ideas and new theorems lying wholely within ring theory. This constitutes much of Chapter 4 -the Morita theorem is Theorem 4. 29-and the basis for it is a corre­ spondence theorem for projective modules (Theorem 4. 7) suggested by the Morita context. As a by-product, this provides foundation for a rather complete theory of simple Noetherian rings-but more about this in the introduction.