Algebra — aller Anfang ist leicht

\"کودک سوخته از آتش می‌ترسد\" از همه آتش‌ها می‌ترسد، حتی اگر آنها فقط در یک مورد خاص سوخته باشند: آنها تجربیات خود را تعمیم داده‌اند. در این جزوه می خواهیم بسیاری از تجربیات خود را در زمینه ریاضیات تعمیم دهیم. برای مثال، خواهیم دید که تقسیم همه کسرها به طبقات کسرهای مساوی، مثلثها به طبقات مثلثهای متجانس، یا تقسیم سیستمهای معادلات خطی به کلاسهای سیستمهای معادل بر اساس همان اصل فکری است. این قیاس‌های جالب و ارتباطات شگفت‌انگیز بین حوزه‌های به ظاهر دور، ما را قادر می‌سازد تا محتوای ریاضی را مرتب و نظام‌مند کنیم. ما همچنین متوجه چنین قیاس‌هایی در بررسی ویژگی‌های عملیات حسابی در مجموعه‌های خاص می‌شویم. به عنوان مثال، آ. ضرب اعداد گویا، جمع بردارها، اجرای متوالی چرخش ها حول یک نقطه ثابت در صفحه، اضافه کردن توابع تقریباً از یک "مجموعه قوانین" پیروی می کند. ظاهراً مهم نیست که با چه چیزی محاسبه می کنید، بلکه مهم این است که چگونه محاسبه می کنید، و ایده نادیده گرفتن ماهیت ملموس عناصر مجموعه، تفسیر عینی محتوای عملیات و در نظر گرفتن مجموعه های هر عنصر در که برخی از عملیات تعریف شده است، که باید از قوانین مشخص و مشخصی پیروی کند. این منجر به مفهوم ساختار جبری می‌شود و مجموعه‌های بتنی با عملیات بتنی که از آن قوانین پیروی می‌کنند، مدل‌هایی برای این ساختار هستند.

"Gebranntes Kind scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit man rechnet, sondern vielmehr wie man rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.