Algèbre Linéaire et Applications

Préface
Notation
Partie I
	Éléments de base
		Ensembles
		Uplets et matrices
		Corps
		Corps fini dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Nombres complexes
		Partie réelle et partie imaginaire
		Arithmétique
		Module et conjugué d'un nombre complexe
		Forme polaire
		Racine n-ième
		Formule d'Euler
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Résolution de systèmes d'équations linéaires
		Définition
		Méthode de la substitution
		Opérations élémentaires
		Représentation matricielle
		Combinaison linéaire de colonnes
		Matrice augmentée associée à un système
		Forme échelonnée réduite
		Élimination de Gauss-Jordan
		Décrire les ensembles solutions
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Matrices
		Multiplication de matrices
		Associativité de la multiplication de matrices
		Matrice identité
		Matrices élémentaires
		Exemples de matrices élémentaires
		Résolution d'équations matricielles
		Matrices inverses
		Calcul de l'inverse d'une matrice carrée
		L'inverse d'un produit de matrices
		Matrices singulières
		Propriétés des matrices
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Déterminant
		Permutations
		Définition
		Matrices spéciales
		Propriétés fondamentales
		Méthodes efficaces
		Règle de Cramer
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Espaces vectoriels
		Motivation
		Définition d'un espace vectoriel
		Espaces vectoriels communément rencontrés
		Sous-espaces
		Combinaison linéaire et espace engendré
		Espaces vectoriels de dimension infinie
		Indépendance linéaire
		Base et dimension
		Dimensions de sous-espaces
		Retour sur le noyau d'une matrice
		Espace des colonnes et espace des lignes
		Rang d'une matrice
		Représentation par les uplets
		Changement de base
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Valeurs propres et vecteurs propres
		La magie des puissances de matrices
		Définitions
		Multiplicités algébriques et géométriques
		Diagonalisation
		Matrices symétriques et hermitiennes
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Partie II
	Transformations linéaires
		Définition
		Noyau d'une application linéaire
		Surjectivité et injectivité
		Bijections et isomorphismes
		Matrice d'une application linéaire
		Retour sur les changements de bases.
		Espace dual
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Produits scalaires
		Produit scalaire usuel
		Forme bilinéaire symétrique
		Produit scalaire
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Orthogonalité
		Bases orthonormées
		Procédé de Gram-Schmidt
		Sous-espaces orthogonaux
		Somme directe
		Projection orthogonale
		Décomposition QR
		Diagonalisation en base orthonormée
		Fonctions quadratiques
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Projection
		Cas d'une matrice de plein rang
		Pseudo-inverse
		Cas général
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Méthode des moindres carrés
		Résolution de système inconsistant
		Cas à une seule variable
		Cas général
		Équation normale
		Ajustement de courbe par la méthode des moindres carrés
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Décomposition en valeurs singulières
		Motivation
		Valeurs singulières
		Démonstration et exemples
		Retour sur la méthode des moindres carrés
		Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
	Applications
		Graphisme dans le plan
		Différentiation de polynômes
		Approximation pour une matrice de rang inférieur
		« Lights Out »
		Codes de correction d'erreurs
		Systèmes d'inéquations linéaires
	Bibliographie