Alexandrov geometry, preliminary version no.1

I Preliminaries......Page 7
  1.1 Trigonometry......Page 9
  1.2 Hemisphere lemma......Page 12
  2.1 Metrics and their relatives......Page 15
  2.2 Notations......Page 17
  2.3 Length spaces......Page 19
  2.4 Convex sets......Page 22
  2.5 Quotient spaces......Page 23
  2.6 Gluing and doubling......Page 25
  2.7 Kuratowsky embedding......Page 26
  3.1 Ultrafilters......Page 27
  3.2 Ultralimits of points......Page 28
  3.3 Ultralimits of spaces......Page 30
  3.4 Ultratangent space......Page 32
  3.5 Gromov–Hausdorff convergence and ultralimits......Page 33
  3.6 Ultralimits of sets......Page 34
  3.7 Ultralimits of functions......Page 35
  4.2 Lipschitz conditions......Page 37
  4.3 Isometries and sumbetries......Page 39
  4.5 Convex real-to-real functions......Page 41
  4.6 Convex functions on a metric space......Page 44
  5.1 Geodesics, triangles and hinges......Page 47
  5.2 Model angles and triangles......Page 48
  5.3 Angles and the first variation......Page 50
  5.5 Space of directions and tangent space......Page 52
  5.6 Velocity of curves......Page 53
  5.7 Differential......Page 55
  5.8 Remarks......Page 56
  6.1 Definitions......Page 57
  6.2 Linear dimension......Page 59
II Definitions and constructions......Page 61
  7.1 Four-point comparison......Page 63
  7.2 Geodesics......Page 66
  7.3 More comparisons......Page 68
  7.4 Function comparison......Page 71
  7.5 Development......Page 72
  7.6 Local definitions and globalization......Page 76
  7.7 Properties of geodesics and angles......Page 82
  7.8 On positive lower bound......Page 87
  7.9 Remarks and open problems......Page 90
  8.1 Four-point comparison.......Page 91
  8.2 Geodesics......Page 92
  8.3 More comparisons......Page 94
  8.4 Thin triangles......Page 97
  8.5 Function comparison......Page 99
  8.6 Convex sets......Page 100
  8.7 Development......Page 104
  8.8 Patchwork globalization......Page 105
  8.9 Reshetnyak\'s gluing theorem......Page 107
  8.10 Space of geodesics......Page 109
  8.11 Lifting globalization......Page 113
  8.12 Reshetnyak majorization......Page 116
  8.13 Hadamard–Cartan theorem......Page 124
  8.14 Angles......Page 127
  8.15 Remarks and open problems......Page 129
  9.1 Short map extension definitions.......Page 131
  9.2 (1+n)-point comparison......Page 135
  9.3 Helly\'s theorem......Page 136
  9.4 Kirszbraun\'s theorem......Page 138
  9.5 Curvature free......Page 144
  9.6 Remarks and open problems......Page 145
  10.1 Definition......Page 147
  10.2 Extended definition......Page 149
  10.3 Examples......Page 150
  10.4 1-dimensional base......Page 151
  10.5 General case......Page 153
III Structure and tools......Page 155
  11.1 Intrinsic property of tangent space......Page 157
  11.2 Differential......Page 159
  11.3 Ultratangent space......Page 161
  11.4 Gradient......Page 162
  11.5 Polar vectors......Page 168
  11.6 Linear subspace of tangent space......Page 169
  11.7 Comments......Page 171
  12.1 The case of complete geodesic spaces......Page 173
  12.2 The case of CAT spaces......Page 178
  12.3 Dimension of CBA spaces......Page 182
  12.4 Finite-dimensional CAT spaces......Page 185
  12.5 Remarks and open problems......Page 187
  13.1 Struts and rank......Page 189
  13.2 Right-inverse theorem......Page 190
  13.3 Dimension theorem for CBB......Page 193
  13.4 Finite dimensional CBB spaces......Page 197
  13.5 One-dimensional CBB spaces......Page 200
  14.1 Gradient-like curves......Page 203
  14.2 Gradient curves......Page 206
  14.3 Gradient flow......Page 213
  14.4 Line splitting theorem......Page 214
  14.5 Radial curves......Page 216
  14.6 Radial comparisons......Page 218
  14.7 Gradient exponent......Page 223
  14.8 Remarks......Page 224
 Bibliography......Page 235