Abstract convexity and global optimization

ابزارهای ویژه ای برای بررسی و حل مسائل بهینه سازی مورد نیاز است. ابزارهای اصلی در مطالعه بهینه‌سازی محلی، حساب کلاسیک و تعمیم‌های مدرن آن هستند که تحلیل غیرهموار را تشکیل می‌دهند. گرادیان و انواع مختلف مشتقات تعمیم یافته به ما اجازه می دهد تا یک تقریب محلی از یک تابع معین را در همسایگی یک نقطه مشخص انجام دهیم. این نوع تقریب در مطالعه اکسترمای موضعی بسیار مفید است. با این حال، تقریب محلی به تنهایی نمی تواند به حل بسیاری از مسائل بهینه سازی جهانی کمک کند، بنابراین نیاز آشکار به توسعه ابزارهای جهانی ویژه برای حل این مسائل وجود دارد. ساده ترین و شناخته شده ترین حوزه بهینه سازی جهانی و به طور همزمان محلی، برنامه نویسی محدب است. ابزار اساسی در مطالعه مسائل بهینه سازی محدب، زیرگروه است که در واقع نقش محلی و جهانی را ایفا می کند. ابتدا، یک زیرگرید تابع محدب f در نقطه x تقریب محلی f را در همسایگی x انجام می دهد. دوم، زیرگرید اجازه ساخت یک تابع افین را می دهد که از f در کل فضا تجاوز نمی کند و با f در x منطبق است. این تابع وابسته h تابع پشتیبانی نامیده می شود. از آنجایی که f(y) ~ h(y) برای متحد، نقش دوم جهانی است. بر خلاف یک تقریب محلی، تابع h یک پشتیبانی مشترک جهانی نامیده می شود.

Special tools are required for examining and solving optimization problems. The main tools in the study of local optimization are classical calculus and its modern generalizions which form nonsmooth analysis. The gradient and various kinds of generalized derivatives allow us to ac­ complish a local approximation of a given function in a neighbourhood of a given point. This kind of approximation is very useful in the study of local extrema. However, local approximation alone cannot help to solve many problems of global optimization, so there is a clear need to develop special global tools for solving these problems. The simplest and most well-known area of global and simultaneously local optimization is convex programming. The fundamental tool in the study of convex optimization problems is the subgradient, which actu­ ally plays both a local and global role. First, a subgradient of a convex function f at a point x carries out a local approximation of f in a neigh­ bourhood of x. Second, the subgradient permits the construction of an affine function, which does not exceed f over the entire space and coincides with f at x. This affine function h is called a support func­ tion. Since f(y) ~ h(y) for ally, the second role is global. In contrast to a local approximation, the function h will be called a global affine support.