Abschätzungen für Differentialoperatoren im Halbraum

نابرابری‌های عملگرهای دیفرانسیل نقش اساسی در نظریه مدرن معادلات دیفرانسیل جزئی دارند. قضایای وجود، قضایای یکتایی و تخمین خطا را می توان در میان کاربردهای متعدد چنین نابرابری هایی یافت که در بسیاری از مسائل رخ می دهند و در انتخاب عملگرهای دیفرانسیل و شرایط مرزی، الزامات مرز دامنه و هنجارهای فضاهای تابع در نظر گرفته شده در تقریب عددی راه حل ها و باقیمانده ها در فرمول های مجانبی و همچنین نتایج بر روی ساختار طیف. برای عملگرهای دیفرانسیل عمومی با ضرایب ثابت، که در این کتاب به آنها پرداخته شده است، برآوردها در L برای توابع با پشتیبانی فشرده 2 در حوزه مورد نظر (HÖBMANDEB [22]) به روشی جامع مورد مطالعه قرار گرفته است. با این حال، تا آنجا که برآوردها تا لبه منطقه مربوط می شود، بسیار کمی شناخته شده است. چنین برآوردهایی شامل کار ABONSZAJN [3]، AGMON [1] (اجبار عملگرهای دیفرانسیل و عملگرهای یکپارچه-متمایز)، SCHECHTEB [43]، [44]، [45] (شرایط کافی برای تسلط در نیم فضا) و برخی دیگر است. تحقیقاتی که در ارجاعات هر فصل در مورد آنها بیشتر گفته شده است. موضوع این کتاب برآورد عملگرهای دیفرانسیل با ضرایب ثابت در نیم فاصله است. هیچ محدودیت پیشینی در مورد نوع عملگرهای دیفرانسیل در نظر گرفته نشده است.

Ungleichungen für Differentialoperatoren spielen eine fundamentale Rolle in der modernen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Unter den zahlreichen An­ wendungen solcher Ungleichungen, die bei vielen Fragestellungen auftreten und sich durch die Auswahl der Differentialoperatoren und der Randbedingungen, die Anfor­ derungen an den Rand des Gebietes und durch die Normen der jeweils betrachteten Funktionenräume unterscheiden, findet man Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Fehlerabschätzungen bei der numerischen Approximation von Lösungen und der Restglieder in asymptotischen Formeln sowie Ergebnisse über die Struktur des Spek­ trums. Für allgemeine Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, die in diesem Buch behandelt werden, sind Abschätzungen im L für Funktionen mit kompaktem 2 Träger im betrachteten Gebiet (HÖBMANDEB [22]) in erschöpfender Weise studiert worden. Was aber Abschätzungen bis zum Rand des Gebietes betrifft, so ist dazu noch überaus wenig bekannt. Solche Abschätzungen enthalten die Arbeiten von ABONS- ZAJN[3], AGMON[1] (Koerzivität von Differentialoperatoren und Integro-Differenti- operatoren), SCHECHTEB [43], [44], [45] (hinreichende Bedingungen für die Dominanz im Halbraum) und einige andere Untersuchungen, über die in den Literaturhinweisen zu jedem Kapitel mehr gesagt wird. Gegenstand des vorliegenden Buches sind Abschätzungen für Differentialopera­ toren mit konstanten Koeffizienten im Halbraum. Es werden keinerlei A-priori-Einschränkungen bezüglich des Typs der betrachteten Differentialoperatoren gemacht.