Abenteuer Mathematik: Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion, 5. Auflage

Cover......Page 1
Abenteuer
Mathematik,
5. Auflage......Page 4
ISBN 9783827428844......Page 5
Inhalt......Page 6
Prolog......Page 10
Das Spiel und seine Elemente......Page 15
Mathematik, Kunst und Wirklichkeit......Page 19
Abstraktion ist Vereinfachung … bis zur Karikatur......Page 21
Verstehen wir, was »verstehen« bedeutet?......Page 24
0
Menschenverstand, Logik und Beweis......Page 28
Ein paar Zutaten: Aussagen......Page 29
Spezifi kationen namens Quantoren......Page 36
Ein paar Rezepte: Beweise......Page 40
Sätze als Implikationen: Beweisspielarten......Page 43
Wie man sich hoffnungslos verbeißt......Page 48
Ratschläge eines berufenenMathematikers......Page 51
Endlicher Beweis unendlich vieler Aussagen......Page 52
Der »Satz vom Affen«......Page 56
Damit begann die Bescherung......Page 60
Primzahlen: die erste unendliche Geschichte......Page 62
Das Vermächtnis des professionellen Amateurs......Page 70
Fermatisten, Goldbachvermuter, Primzwillingsforscher......Page 77
Großjagd auf Monster......Page 79
Faktorisieren: beliebig viele, beliebig harte Nüsse......Page 83
Die Kryptologie und ihre Falltüren......Page 84
2
Brücken ins Unendliche......Page 90
Die einfachste, natürliche Unendlichkeit......Page 92
Das Unendliche zwischen Genie und Wahn......Page 98
Kritiker und Bewunderer......Page 101
Die Beweise......Page 102
Die Durchnummerierung der Brüche......Page 103
Mehr als unendlich viele......Page 105
Algebraische und »transzendente« Zahlen......Page 106
Was ist die Potenzmenge einer Menge?......Page 107
Die genaue Frage und Cantors Satz......Page 110
Die Kontinuumhypothese......Page 114
Ist logische Stimmigkeit alles?......Page 116
Gibt es verschiedene Kategorien von Mathematik?......Page 118
Unendlichkeit im Kleinen......Page 120
Der letzte Akt......Page 126
Schule: zuerst keine, dann einelangweilige......Page 128
Die Anfänge des spielerischen Erforschens......Page 130
Widrige Wechselfälle oder Mister
Murphy was here
......Page 133
Das Vermächtnis des Duellanten......Page 140
Symmetrien und Gruppen......Page 141
Die Gestalt der Lösungsmenge einer Gleichung......Page 146
Galois’ Rezept – das MatrjoschkaPrinzip......Page 149
Blick durch das aufgestoßene Tor......Page 152
Wie die Geometrien unter einen Hut kamen......Page 153
Von der Geometrie zur Physik …......Page 155
Ein paar unkomplizierte Exemplare ausdem Gruppenzoo......Page 156
»Einfach« ist nicht leicht......Page 158
Der Marathonbeweis und das Monster......Page 160
4
Zufall, Glück und Chaos......Page 166
Die Entstehungsphase der Wahrscheinlichkeitsrechnung......Page 167
Frühe Anwendungen in den Natur-und Wirtschaftswissenschaften......Page 171
Die Axiomatisierung: Beginn der modernen Wahrscheinlichkeit......Page 173
Die Gewissheit des Zufalls oder Das Gedächtnis der Roulettekugel......Page 178
Fehlender Ausgleich, Unempfi ndlichkeit, Impotenz......Page 180
Fortuna kontra Nemesis oder Die fundamentale Ungerechtigkeit der Natur......Page 181
Determinismus, Berechenbarkeit, Vorhersagbarkeit, Komplexität......Page 185
Chaos und Fröhlichkeit......Page 189
Der Zufall im Roulette und seine –– partielle – Zähmung
......Page 193
Wahrscheinlich, glaubwürdig, plausibel: Kategorien der Ungewissheit......Page 197
Ungewissheiten graduell defi nierenund verknüpfen......Page 200
Außerirdische Intelligenzen?......Page 205
Grade der Zufälligkeit: feiner als Wahrscheinlichkeiten......Page 211
5
Basar des Bizarren......Page 216
Die Seele des Gebildes......Page 217
Millionen konkreter Sachverhalte untereinem Hut – drei Beispiele......Page 220
Topologische Strukturgleichheit......Page 223
Eine kleine Vorgeschichte......Page 226
Mannigfaltigkeiten und die Poincaré-Vermutung......Page 231
Mannigfaltigkeiten und ihreMikrostruktur......Page 232
Die Poincaré-Vermutung......Page 234
Als ob eine Differenzialrechnung nichtschon genug wäre …......Page 236
Perelman beweist Poincaré-Vermutung......Page 239
Die Euler’sche Polyeder-Formel......Page 227
Gebilde, Löcher, Henkel und dasGeschlecht eines Knopfes......Page 228
Das Vierfarbenproblem......Page 241
Der erste mathematische Beweis dankComputerhilfe......Page 248
Wann ist ein Beweis ein Beweis?......Page 249
Die Evolution der Ästhetik derMathematik......Page 250
6
Ja, mach nur einen Plan …......Page 254
Beispiel 1: Wenn meistens alles glatt läuft –lineare Programmierung......Page 256
Weitere Beispiele – ganzzahlige Optimierung......Page 280
Das Rucksackproblem......Page 281
Das Rundreiseproblem......Page 282
»Branch and bound« oder »Teileund herrsche«......Page 283
Das Steiner-Problem......Page 284
Beispiel 2: Banales kann kniffl ig sein – dasStundenplanproblem......Page 261
Beispiel 4: Vernetzte Ablaufplanung –Netzplantechniken......Page 264
Beispiel 5: Dezentrales Instrument fürunsere Umwelt – Petri-Netze......Page 267
Beispiel 6: Keine Erfi ndung der ZentralenPlanwirtschaft – Warteschlangen......Page 271
Beispiel 7: Mehrstufi ge Entscheidungen –dynamische Programmierung......Page 274
Beispiel 8: Wie fi ndet man oder frau denTraumpartner?......Page 278
Komplexität – algorithmisch gesehen......Page 286
Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung......Page 290
7
Das Gefangenendilemma......Page 294
Knobeln......Page 296
Das Offenbarungsspiel......Page 299
Das Chicken Game......Page 300
Das Gefangenendilemma(Prisoner’s Dilemma)......Page 301
Gleichgewicht – der rote Faden......Page 303
Minimax-Denken: vorsichtigerZweckpessimismus......Page 304
Das Gleichgewichtstheorem fürBaumspiele......Page 308
Black Jack: Ein (fast) faires Casinospiel......Page 311
Das Gleichgewichtstheorem fürnichtkooperative Spiele......Page 317
Evolutionäre Spieltheorie und Kooperation......Page 321
Eskalieren oder Nachgeben?......Page 322
Evolutionsstabile Strategien undAsymmetrien......Page 324
Das Gefangenendilemma (kurzeErinnerung)......Page 326
Wiederholung: Zauber und Zwang......Page 328
Tit For Tat oder das wiederholteGefangenendilemma......Page 330
Noch einmal Tit For Tat oder DieFortsetzung des wiederholtenGefangenendilemmas......Page 333
Tit For Tat Superstar – eine einfacheevolutionäre Variante der tausendfachenFortsetzung des wiederholtenGefangenendilemmas......Page 334
Die Tragödie der Allmende 16......Page 337
Angewandte Spieltheorie: illusorischer Nutzen?......Page 338
Gemeinsame Wurzeln des Verhaltens inÖkonomie und Biologie......Page 339
Kritik der reinen Rationalität......Page 340
Mathematik: nur ein Aspekt imkonzertierten Erkenntnisbild......Page 344
»Dieser Satz ist falsch«: Selbstreferenz......Page 346
Selbstreproduktion – natürlich künstlich......Page 350
Absolutismen und Superlogik:Fehlanzeige......Page 352
Der Traum vieler Sozialphilosophen:futsch......Page 355
Ist die Welt nun mathematisch?......Page 357
Ein letzter Rückblick......Page 362
Anmerkungen......Page 366
Literatur......Page 390
Index......Page 400