A Unified Approach to Interior Point Algorithms for Linear Complementarity Problems

به دنبال الگوریتم برنامه ریزی خطی کارمارکار در سال 1984، الگوریتم های نقطه داخلی متعددی برای مسائل مختلف برنامه ریزی ریاضی مانند برنامه ریزی خطی، برنامه نویسی درجه دوم محدب و برنامه ریزی محدب به طور کلی پیشنهاد شده است. این مونوگراف مطالعه الگوریتم‌های نقطه داخلی را برای مسئله تکمیلی خطی (LCP) ارائه می‌کند که به عنوان یک مدل ریاضی برای جفت‌های اولیه-دوگانه برنامه‌های خطی و برنامه‌های درجه دوم محدب شناخته می‌شود. خانواده بزرگی از الگوریتم‌های کاهش پتانسیل به روشی یکپارچه برای کلاس LCP ارائه شده است که در آن ماتریس زیربنایی دارای مینورهای اصلی غیرمنفی است (ماتریس P0). این کلاس شامل زیر کلاس‌های مهم مختلفی مانند ماتریس‌های نیمه معین مثبت، ماتریس‌های P، ماتریس‌های P*- معرفی‌شده در این مقاله و ماتریس‌های کافی ستونی است. این خانواده نه تنها شامل الگوریتم‌های کاهش پتانسیل معمولی می‌شود، بلکه الگوریتم‌های پیروی از مسیر و یک روش نیوتن میرا برای LCP را نیز شامل می‌شود. موضوعات اصلی همگرایی سراسری، همگرایی خطی جهانی، و همگرایی چند جمله ای زمان الگوریتم های کاهش پتانسیل موجود در خانواده است.

Following Karmarkar's 1984 linear programming algorithm, numerous interior-point algorithms have been proposed for various mathematical programming problems such as linear programming, convex quadratic programming and convex programming in general. This monograph presents a study of interior-point algorithms for the linear complementarity problem (LCP) which is known as a mathematical model for primal-dual pairs of linear programs and convex quadratic programs. A large family of potential reduction algorithms is presented in a unified way for the class of LCPs where the underlying matrix has nonnegative principal minors (P0-matrix). This class includes various important subclasses such as positive semi-definite matrices, P-matrices, P*-matrices introduced in this monograph, and column sufficient matrices. The family contains not only the usual potential reduction algorithms but also path following algorithms and a damped Newton method for the LCP. The main topics are global convergence, global linear convergence, and the polynomial-time convergence of potential reduction algorithms included in the family.