A transition to advanced mathematics

Cover Page......Page 1
Title Page......Page 4
Copyright Page......Page 5
Dedication......Page 6
Preface......Page 9
Preface To The Student......Page 13
CONTENTS......Page 7
1.1 Propositions and Connectives......Page 20
Theorem 1.1.1......Page 24
Exercises 1.1......Page 26
1.2 Conditionals and Biconditionals......Page 28
Theorem 1.2.1......Page 30
Theorem 1.2.2......Page 32
Exercises 1.2......Page 34
1.3 Quantifiers......Page 37
Theorem 1.3.1......Page 42
Exercises 1.3......Page 44
1.4 Basic Proof Methods I......Page 46
Exercises 1.4......Page 56
1.5 Basic Proof Methods II......Page 59
Exercises 1.5......Page 65
1.6 Proofs Involving Quantifiers......Page 67
Exercises 1.6......Page 76
1.7 Additional Examples of Proofs......Page 79
Theorem 1.7.1......Page 82
Theorem 1.7.3......Page 83
Exercises 1.7......Page 84
2.1 Basic Concepts of Set Theory......Page 89
Theorem 2.1.1......Page 91
Theorem 2.1.3......Page 92
Theorem 2.1.5......Page 94
Exercises 2.1......Page 95
2.2 Set Operations......Page 97
Theorem 2.2.1......Page 99
Theorem 2.2.2......Page 101
Theorem 2.2.3......Page 103
Exercises 2.2......Page 104
2.3 Extended Set Operations and Indexed Families of Sets......Page 107
Theorem 2.3.1......Page 109
Theorem 2.3.2......Page 111
Exercises 2.3......Page 114
2.4 Mathematical Induction......Page 118
Theorem 2.4.1......Page 125
Theorem 2.4.2......Page 126
Exercises 2.4......Page 127
2.5 Equivalent Forms of Induction......Page 132
Theorem 2.5.1......Page 135
Theorem 2.5.4......Page 136
Theorem 2.5.5......Page 137
Exercises 2.5......Page 138
Theorem 2.6.2......Page 140
Theorem 2.6.3......Page 141
Theorem 2.6.5......Page 143
Theorem 2.6.6......Page 144
Theorem 2.6.7......Page 145
Theorem 2.6.8......Page 146
Theorem 2.6.9......Page 148
Exercises 2.6......Page 149
3.1 Cartesian Products and Relations......Page 153
Theorem 3.1.3......Page 160
Exercises 3.1......Page 162
3.2 Equivalence Relations......Page 165
Theorem 3.2.1......Page 168
Theorem 3.2.2......Page 169
Exercises 3.2......Page 171
3.3 Partitions......Page 175
Theorem 3.3.1......Page 177
Theorem 3.3.2......Page 178
Exercises 3.3......Page 179
3.4 Ordering Relations......Page 181
Theorem 3.4.1......Page 184
Theorem 3.4.2......Page 187
Exercises 3.4......Page 188
3.5 Graphs......Page 192
Theorem 3.5.1......Page 194
Theorem 3.5.2......Page 196
Theorem 3.5.3......Page 197
Theorem 3.5.4......Page 198
Exercises 3.5......Page 199
4.1 Functions as Relations......Page 202
Theorem 4.1.1......Page 206
Exercises 4.1......Page 208
4.2 Constructions of Functions......Page 212
Theorem 4.2.1......Page 214
Theorem 4.2.2......Page 215
Theorem 4.2.4......Page 216
Theorem 4.2.5......Page 218
Exercises 4.2......Page 219
4.3 Functions That Are Onto; One-to-One Functions......Page 222
Theorem 4.3.2......Page 225
Theorem 4.3.5......Page 226
Exercises 4.3......Page 227
4.4 One-to-One Correspondences and Inverse Functions......Page 230
Theorem 4.4.1......Page 231
Theorem 4.4.4......Page 232
Theorem 4.4.5......Page 234
Exercises 4.4......Page 235
4.5 Images of Sets......Page 237
Theorem 4.5.1......Page 239
Exercises 4.5......Page 240
4.6 Sequences......Page 242
Theorem 4.6.1......Page 244
Theorem 4.6.2......Page 246
Exercises 4.6......Page 247
5.1 Equivalent Sets; Finite Sets......Page 250
Lemma 5.1.2......Page 252
Theorem 5.1.3......Page 253
Theorem 5.1.6......Page 254
Theorem 5.1.7......Page 255
Corollary 5.1.10......Page 256
Exercises 5.1......Page 257
5.2 Infinite Sets......Page 259
Theorem 5.2.1......Page 260
Theorem 5.2.2......Page 261
Theorem 5.2.3......Page 262
Theorem 5.2.4......Page 263
Theorem 5.2.5......Page 264
Exercises 5.2......Page 266
5.3 Countable Sets......Page 268
Theorem 5.3.1......Page 269
Theorem 5.3.4......Page 270
Theorem 5.3.8......Page 272
Corollary 5.3.9......Page 273
Exercises 5.3......Page 274
5.4 The Ordering of Cardinal Numbers......Page 276
Theorem 5.4.1......Page 277
Theorem 5.4.2......Page 278
Theorem 5.4.3......Page 279
Corollary 5.4.4......Page 282
Exercises 5.4......Page 283
5.5 Comparability of Cardinal Numbers and the Axiom of Choice......Page 284
Theorem 5.5.1......Page 285
Theorem 5.3.8......Page 286
Theorem 5.5.3......Page 287
Corollary 5.5.5......Page 288
Exercises 5.5......Page 289
6.1 Algebraic Structures......Page 291
Theorem 6.1.1......Page 294
Theorem 6.1.2......Page 295
Exercises 6.1......Page 296
6.2 Groups......Page 299
Theorem 6.2.1......Page 300
Theorem 6.2.2......Page 301
Theorem 6.2.3......Page 302
Theorem 6.2.5......Page 303
Exercises 6.2......Page 305
6.3 Subgroups......Page 308
Theorem 6.3.1......Page 309
Theorem 6.3.4......Page 310
Exercises 6.3......Page 312
6.4 Operation Preserving Maps......Page 314
Theorem 6.4.1......Page 315
Theorem 6.4.3......Page 316
Theorem 6.4.4......Page 317
Theorem 6.4.5......Page 319
Exercises 6.4......Page 320
6.5 Rings and Fields......Page 322
Theorem 6.5.2......Page 324
Theorem 6.5.3......Page 325
Theorem 6.5.4......Page 326
Theorem 6.5.5......Page 327
Exercises 6.5......Page 328
CHAPTER 7 Concepts of Analysis......Page 331
7.1 Completeness of the Real Numbers......Page 332
Theorem 7.1.1......Page 334
Theorem 7.1.2......Page 336
Exercises 7.1......Page 337
7.2 The Heine–Borel Theorem......Page 340
Theorem 7.2.2......Page 343
Theorem 7.2.3......Page 344
Theorem 7.2.5......Page 348
Exercises 7.2......Page 349
7.3 The Bolzano–Weierstrass Theorem......Page 352
Theorem 7.3.1......Page 354
Exercises 7.3......Page 355
7.4 The Bounded Monotone Sequence Theorem......Page 357
Theorem 7.4.2......Page 358
Theorem 7.4.3......Page 359
Exercises 7.4......Page 361
7.5 Equivalents of Completeness......Page 363
Theorem 7.5.3......Page 364
Exercises 7.5......Page 366
Answers to Selected Exercises......Page 368
Index......Page 408