A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration

Cover......Page 1
Semi-Title......Page 2
A RADICAL APPROACH TO LEBESGUE\'S THEORYOF INTEGRATION......Page 4
Editorial Board......Page 6
Title......Page 8
Copyright......Page 9
Dedication......Page 10
Contents......Page 12
Preface......Page 14
1 Introduction......Page 18
Fourier Series......Page 19
Integration......Page 21
Cauchy and Riemann Integrals......Page 24
The Fundamental Theorem of Calculus......Page 25
Continuity and Differentiability......Page 29
Term-by-term Integration......Page 30
Notation......Page 32
Definitions......Page 33
Theorems......Page 35
2 The Riemann Integral......Page 40
2.1 Existence......Page 41
The Darboux Integrals......Page 45
Improper Integrals......Page 47
2.2 Nondifferentiable Integrals......Page 50
Darboux\'s Observation......Page 53
Summary......Page 55
2.3 The Class of 1870......Page 57
Hankel\'s Innovations......Page 59
Hankel\'s Types of Discontinuity......Page 61
Cantor\'s 1872 Paper......Page 63
3.1 Geometry of R......Page 68
Implications of the Bolzano-Weierstrass Theorem......Page 76
Completeness......Page 78
Harnack\'s Mistake......Page 80
Borel\'s Series......Page 81
Compactness......Page 82
Two Corollaries......Page 83
How Heine\'s Name Got Attached to This Theorem......Page 84
An Infinite Extension......Page 69
Topology of R......Page 70
More Definitions......Page 72
Cardinality......Page 88
The Continuum Hypothesis......Page 92
Power Sets......Page 93
4 Nowhere Dense Sets and the Problem with theFundamental Theorem of Calculus......Page 98
4.1 The Smith-Volterra-Cantor Sets......Page 99
The Cantor Ternary Set......Page 100
The Devil\'s Staircase......Page 102
4.2 Volterra\'s Function......Page 106
SVC(4)......Page 107
Perfect, Nowhere Dense Sets......Page 111
SVC(n)......Page 113
4.3 Term-by-Term Integration......Page 115
What Can Happen......Page 117
Preserving Some Uniformity......Page 120
Is Boundedness Sufficient?......Page 121
The Arzela-Osgood Theorem......Page 123
4.4 The Haire Category Theorem......Page 126
Applications of Haire\'s Theorem......Page 129
Baire\'s Big Theorem......Page 131
Lebesgue\'s Proof of Theorem 4.11......Page 132
Discontinuities of Derivatives......Page 133
5 The Development of Measure Theory......Page 137
5.1 Peano, Jordan, and Borel......Page 139
Jordan Measure......Page 141
Borel Measure......Page 143
Borel Sets......Page 144
The Limitations of Borel Measure......Page 145
5.2 Lebesgue Measure......Page 148
Improving on Borel......Page 151
Alternate Definition of Lebesgue Measure......Page 154
5.3 Caratheodory\'s Condition......Page 157
5.4 Nonmeasurable Sets......Page 167
Difficulties......Page 168
Pursuing the Axiom of Choice......Page 171
Do Nonmeasurable Sets Exist?......Page 172
6.1 Measurable Functions......Page 176
Limits of Measurable Functions......Page 178
Farewell to the Riemann Integral......Page 181
6.2 Integration......Page 186
Integration of Measurable Functions......Page 188
The Monotone Convergence Theorem......Page 190
Uniform Convergence......Page 200
Example 4.7 from Section 4.3......Page 201
Sufficient but Not Necessary......Page 203
Fatou\'s Lemma......Page 204
Proof of the Dominated Convergence Theorem......Page 205
6.4 Egorov\'s Theorem......Page 208
Convergence in Measure......Page 211
Limits of Step Functions......Page 213
Luzin\'s Theorem......Page 215
7 The Fundamental Theorem of Calculus......Page 220
7.1 The Dini Derivatives......Page 221
Bounded Variation......Page 223
7.2 Monotonicity Implies Differentiability Almost Everywhere......Page 229
Outlining the Proof......Page 230
The Proof of Theorem 7.4......Page 232
The Faber-Chisholm-Young Theorem......Page 235
7.3 Absolute Continuity......Page 240
The Evaluation Part......Page 241
Lebesgue Integral and Absolute Continuity......Page 243
A Hierarchy of Functions......Page 245
Absolute Continuity and Monotonicity......Page 246
7.4 Lebesgue\'s FTC......Page 248
8 Fourier Series......Page 258
8.1 Pointwise Convergence......Page 259
Cesaro Convergence......Page 262
8.2 Metric Spaces......Page 268
LP Spaces......Page 270
Convergence......Page 274
Ordering L P Spaces......Page 277
8.3 Banach Spaces......Page 280
The Riesz-Fischer Theorem......Page 284
8.4 Hilbert Spaces......Page 288
Complete Orthogonal Set......Page 290
Complete Orthonormal Sets......Page 294
Completing the Proof of the Riesz-Fischer Theorem......Page 296
9 Epilogue......Page 299
A.l The Cardinality of the Collection of Borel Sets......Page 304
Connection to Haire......Page 307
A.2 The Generalized Riemann Integral......Page 308
The Fundamental Theorem of Calculus......Page 310
Comparison with the Lebesgue Integral......Page 311
Final Thoughts......Page 313
AppendixB: Hints to Selected Exercises......Page 316
Bibliography......Page 334
Index......Page 340