A Projection Transformation Method for Nearly Singular Surface Boundary Element Integrals

در تجزیه و تحلیل عناصر مرزی سه بعدی، محاسبه انتگرال ها جنبه مهمی دارد زیرا بر دقت آنالیز حاکم است و همچنین به این دلیل که معمولاً بخش عمده ای از زمان CPU را می گیرد. انتگرال هایی که ماتریس های تأثیر، میدان داخلی و گرادیان های آن را تعیین می کنند حاوی هسته های (تقریباً) منفرد از مرتبه lIr a (0:= 1,2,3,4,.··) هستند که r فاصله بین نقطه مبدا و نقطه ادغام در عنصر مرزی برای عناصر مسطح، ادغام تحلیلی ممکن است 1،2،6 امکان پذیر باشد. با این حال، در کدهای عناصر مرزی عملی استفاده از عناصر منحنی، مانند عناصر ایزوپارامتری، برای مدل‌سازی سطوح منحنی عمومی، اهمیت فزاینده‌ای پیدا می‌کند. از آنجایی که ادغام تحلیلی برای عناصر منحنی ایزوپارامتری عمومی امکان پذیر نیست، باید بر ادغام عددی تکیه کرد. هنگامی که فاصله d بین نقطه مبدا و عنصری که ادغام روی آن انجام می شود در مقایسه با اندازه عنصر (d> 1) به اندازه کافی بزرگ باشد، فرمول استاندارد گاوس-لژاندر 1،3 به طور موثر کار می کند. با این حال، زمانی که منبع در واقع روی عنصر (d=O) باشد، هسته 1I~ تکی می شود و کاربرد مستقیم فرمول ربع گاوس-لژاندر از بین می رود. این انتگرال ها انتگرال های مفرد نامیده می شوند. انتگرال های منفرد هنگام محاسبه قطرهای ماتریس های تأثیر رخ می دهند.

In three dimensional boundary element analysis, computation of integrals is an important aspect since it governs the accuracy of the analysis and also because it usually takes the major part of the CPU time. The integrals which determine the influence matrices, the internal field and its gradients contain (nearly) singular kernels of order lIr a (0:= 1,2,3,4,.··) where r is the distance between the source point and the integration point on the boundary element. For planar elements, analytical integration may be possible 1,2,6. However, it is becoming increasingly important in practical boundary element codes to use curved elements, such as the isoparametric elements, to model general curved surfaces. Since analytical integration is not possible for general isoparametric curved elements, one has to rely on numerical integration. When the distance d between the source point and the element over which the integration is performed is sufficiently large compared to the element size (d> 1), the standard Gauss-Legendre quadrature formula 1,3 works efficiently. However, when the source is actually on the element (d=O), the kernel 1I~ becomes singular and the straight forward application of the Gauss-Legendre quadrature formula breaks down. These integrals will be called singular integrals. Singular integrals occur when calculating the diagonals of the influence matrices.