A Modern View of the Riemann Integral

این تک نگاری قابلیت های کامل انتگرال ریمان را آشکار می کند. نویسنده با کنار گذاشتن تمام مفاهیم نظریه لبگ، کاوشی را آغاز می کند که ریشه در دیدگاه اصلی ریمان دارد. در این سفر، ما با نتایج جدید، عکس‌های تاریخی متعدد مواجه می‌شویم، و ویژگی خاصی را برای محاسبات و کاربردها کشف می‌کنیم.

این رویکرد بر سه مشاهدات اساسی استوار است. اول، یک معیار انتگرال پذیری ریمان از نظر نوسانات، که فرمول کمی از این واقعیت است که توابع انتگرال پذیر ریمان a.e پیوسته هستند. با توجه به اندازه گیری Lebesgue. دوم، معرفی مفاهیم خانواده های قابل قبول پارتیشن ها و مبالغ اصلاح شده ریمان. در نهایت، این واقعیت که اکثر قوانین تربیع عددی از مجموع ریمان با دقت انتخاب شده استفاده می‌کنند، که باعث می‌شود ریمان انتگرال باشد، چه مناسب باشد و چه نامناسب، برای این تلاش مناسب‌تر است.

A. نمای مدرن انتگرال ریمان برای علاقه مندانی است که می خواهند پتانسیل مفهوم اصلی ریمان از انتگرال را کشف کنند. تنها پیش نیاز رسمی، آشنایی مبتنی بر اثبات با انتگرال ریمان است، اگرچه خوانندگان همچنین باید از بلوغ ریاضی و یک دیدگاه علمی استفاده کنند.

This monograph uncovers the full capabilities of the Riemann integral. Setting aside all notions from Lebesgue’s theory, the author embarks on an exploration rooted in Riemann’s original viewpoint. On this journey, we encounter new results, numerous historical vignettes, and discover a particular handiness for computations and applications.

This approach rests on three basic observations. First, a Riemann integrability criterion in terms of oscillations, which is a quantitative formulation of the fact that Riemann integrable functions are continuous a.e. with respect to the Lebesgue measure. Second, the introduction of the concepts of admissible families of partitions and modified Riemann sums. Finally, the fact that most numerical quadrature rules make use of carefully chosen Riemann sums, which makes the Riemann integral, be it proper or improper, most appropriate for this endeavor.

A Modern View of the Riemann Integral is intended for enthusiasts keen to explore the potential of Riemann's original notion of integral. The only formal prerequisite is a proof-based familiarity with the Riemann integral, though readers will also need to draw upon mathematical maturity and a scholarly outlook.