A First Course in Real Analysis

Title......Page 2
Copyright Page......Page 3
Preface......Page 6
Contents......Page 8
1.1. The field axioms......Page 12
1.2. The order axioms......Page 15
1.3. Bounded sets, LUB and GLB......Page 19
1.4. The completeness axiom (existenceof LUB's)......Page 22
2.1. Dual of the completenes axiom (existence of GLB's)......Page 26
2.2. Archimedean property......Page 27
2.3. Bracket function......Page 30
2.4. Density of therationals......Page 31
2.5. Monotone sequences......Page 32
2.6. Theorem on nested intervals......Page 34
2.7. Dedekind cut property......Page 37
2.8. Square roots......Page 39
2.9. Absolute value......Page 41
3.1. Bounded sequences......Page 44
3.2. Ultimately, frequently......Page 46
3.3. Null sequences......Page 47
3.4. Convergent sequences......Page 50
3.5. Subsequences, Weierstrass-Bolzano theorem......Page 54
3.6. Cauchy's criterion for convergence......Page 59
3.7. limsup and liminf of a bounded sequence......Page 61
4.1. Intervals......Page 67
4.2. Closed sets......Page 72
4.3. Open sets, neighborhoods......Page 76
4.4. Finite and infinite sets......Page 82
4.5. Heine-Borel covering theorem......Page 86
5.1. Functions, direct images, inverse images......Page 91
5.2. Continuity at a point......Page 95
5.3. Algebra of continuity......Page 99
5.4. Continuous functions......Page 101
5.5. One-sided continuity......Page 103
5.6. Composition......Page 107
6.1. Intermediate value theorem......Page 109
6.2. n'th roots......Page 111
6.3. Continuous functions on a closed interval......Page 112
6.4. Monotonic continuous functions......Page 114
6.5. Inverse function theorem......Page 116
6.6. Uniform continuity......Page 117
7.1. Deleted neighborhoods......Page 121
7.2. Limits......Page 123
7.3. Limits and continuity......Page 126
7.4. \epsilon, \delta characterization of limits......Page 128
7.5. Algebra of limits......Page 129
8.1. Differentiability......Page 132
8.2. Algebra of derivatives......Page 135
8.3. Composition (Chain Rule)......Page 137
8.4. Local max and min......Page 139
8.5. Mean value theorem......Page 140
9.1. Upper and lower integrals: the machinery......Page 146
9.2. First properties of upper and lower integrals......Page 153
9.3. Indefinite upper and lower integrals......Page 156
9.4. Riemann-integrable functions......Page 160
9.5. An application: log and exp......Page 165
9.6. Piecewise pleasant functions......Page 172
9.7. Darboux'stheorem......Page 178
9.8. The integral as a limit of Riemann sums......Page 185
10.1. Infinite series: convergence, divergence......Page 190
10.2. Algebra of convergence......Page 194
10.3. Positive-termseries......Page 195
10.4. Absoluteconvergence......Page 200
CHAPTER 11 Beyondthe Riemann Integral......Page 205
11.1. Negligible sets......Page 207
11.2. Absolutely continuous functions......Page 214
11.3. The uniquenes theorem......Page 219
11.4. Lebesgue's criterion for Riemann-integrability......Page 222
11.5. Lebesgue-integrable functions......Page 226
A.1. Proofs,logical shorthand......Page 231
A.2. Set notations......Page 233
A.3. Functions......Page 235
A.4. Integers......Page 237
Index of Notations......Page 242
Index......Page 244