A First Course in Noncommutative Rings

یکی از دوره های تحصیلات تکمیلی مورد علاقه من در برکلی ریاضی 251 است، یک دوره یک ترم در تئوری حلقه که برای دانشجویان مقطع کارشناسی ارشد سال دوم ارائه می شود. من این دوره را در پاییز 1983 و اخیراً در بهار 1990 تدریس کردم، هر دو بار با تمرکز بر تئوری حلقه های غیر جابه جایی. این کتاب حاصل سخنرانی های من در این دو درس است و برای استفاده مدرسان و دانشجویان تحصیلات تکمیلی در یک دوره یک ترم مشابه در تئوری حلقه پایه در نظر گرفته شده است. نظریه حلقه موضوعی مهم در جبر است. از نظر تاریخی، برخی از اکتشافات عمده در نظریه حلقه به شکل گیری روند توسعه جبر انتزاعی مدرن کمک کرده است. امروزه تئوری حلقه محل گردهمایی تئوری گروه‌ها (حلقه‌های گروهی)، نظریه بازنمایی (ماژول‌ها)، تحلیل عملکردی (جبرهای عملگر)، نظریه دروغ (جبرهای پوششی)، هندسه جبری (جبرهای تولید شده محدود، عملگرهای دیفرانسیل، غیرمتغیر) است. نظریه)، حساب (ترتیب ها، گروه های Brauer)، جبر جهانی (انواع حلقه ها)، و جبر همسانی (هم شناسی حلقه ها، مدول های تصویری، گروتندیک و گروه های K بالاتر). با توجه به این پیوندهای اساسی بین تئوری حلقه و سایر شاخه‌های ریاضیات، شاید اغراق نباشد اگر بگوییم که یک دوره در تئوری حلقه برای هر جبرشناس نوپایی بخشی ضروری از آموزش است. هدف از سخنرانی‌های من ارائه مقدمه‌ای کلی بر تئوری حلقه‌ها بود که بر اساس آنچه دانشجویان از یک دوره تحصیلات تکمیلی استاندارد سال اول در جبر انتزاعی آموخته‌اند.

One of my favorite graduate courses at Berkeley is Math 251, a one-semester course in ring theory offered to second-year level graduate students. I taught this course in the Fall of 1983, and more recently in the Spring of 1990, both times focusing on the theory of noncommutative rings. This book is an outgrowth of my lectures in these two courses, and is intended for use by instructors and graduate students in a similar one-semester course in basic ring theory. Ring theory is a subject of central importance in algebra. Historically, some of the major discoveries in ring theory have helped shape the course of development of modern abstract algebra. Today, ring theory is a fer­ tile meeting ground for group theory (group rings), representation theory (modules), functional analysis (operator algebras), Lie theory (enveloping algebras), algebraic geometry (finitely generated algebras, differential op­ erators, invariant theory), arithmetic (orders, Brauer groups), universal algebra (varieties of rings), and homological algebra (cohomology of rings, projective modules, Grothendieck and higher K-groups). In view of these basic connections between ring theory and other branches of mathemat­ ics, it is perhaps no exaggeration to say that a course in ring theory is an indispensable part of the education for any fledgling algebraist. The purpose of my lectures was to give a general introduction to the theory of rings, building on what the students have learned from a stan­ dard first-year graduate course in abstract algebra.