A Concrete Introduction to Higher Algebra

این کتاب به‌عنوان مقدمه‌ای بر جبر عالی برای دانش‌آموزانی با پیش‌زمینه یک سال حساب دیفرانسیل و انتگرال نوشته شده است. اولین ویرایش این کتاب از مجموعه ای از یادداشت های نوشته شده در دهه 1970 برای یک دوره متوسطه دوم در دانشگاه آلبانی با عنوان "جبر کلاسیک" پدیدار شد. هدف این دوره و کتاب، ارائه کافی به دانش آموزان است. تجربه در تئوری جبری اعداد صحیح و چندجمله ای برای درک مفاهیم اساسی جبر انتزاعی. موضوع نظری اصلی توسعه ویژگی های جبری حلقه اعداد صحیح است: فاکتورسازی منحصر به فرد به اعداد اول، همخوانی ها و طبقات همخوانی، قضیه فرما، قضیه باقی مانده چینی. و سپس دوباره برای حلقه چند جمله ای. انجام این کار منجر به مطالعه گسترش میدان های ساده، و به ویژه، به نمایش میدان های محدود می شود. خواص ابتدایی حلقه‌ها، میدان‌ها، گروه‌ها و هم‌مورفیسم‌های این اجسام در صورت نیاز در توسعه معرفی و استفاده می‌شوند. همزمان با توسعه نظری، کتاب طیف گسترده‌ای از کاربردها را برای رمزنگاری، کدهای تصحیح خطا، مربع‌های لاتین، مسابقات، تکنیک‌های ادغام و به‌ویژه برای تئوری اعداد محاسباتی و عنصری ارائه می‌کند. دانش‌آموزی که می‌پرسد «چرا این را یاد می‌گیرم؟» معمولاً در یک یا دو فصل پاسخ‌ها را پیدا می‌کند. برای اولین دوره در جبر، این کتاب چند مزیت ارائه می دهد. • با ساختن جبر از اعداد و چند جمله ای، این کتاب از تجربیات قبلی دانش آموز در جبر و حساب حداکثر بهره را می برد. مفاهیم جدید در یک زمینه آشنا به وجود می آیند.

This book is written as an introduction to higher algebra for students with a background of a year of calculus. The first edition of this book emerged from a set of notes written in the 1970sfor a sophomore-junior level course at the University at Albany entitled "Classical Algebra." The objective of the course, and the book, is to give students enough experience in the algebraic theory of the integers and polynomials to appre­ ciate the basic concepts of abstract algebra. The main theoretical thread is to develop algebraic properties of the ring of integers: unique factorization into primes, congruences and congruence classes, Fermat's theorem, the Chinese remainder theorem; and then again for the ring of polynomials. Doing so leads to the study of simple field extensions, and, in particular, to an exposition of finite fields. Elementary properties of rings, fields, groups, and homomorphisms of these objects are introduced and used as needed in the development. Concurrently with the theoretical development, the book presents a broad variety of applications, to cryptography, error-correcting codes, Latin squares, tournaments, techniques of integration, and especially to elemen­ tary and computational number theory. A student who asks, "Why am I learning this?," willfind answers usually within a chapter or two. For a first course in algebra, the book offers a couple of advantages. • By building the algebra out of numbers and polynomials, the book takes maximal advantage of the student's prior experience in algebra and arithmetic. New concepts arise in a familiar context.