3+1 Formalism in General Relativity: Bases of Numerical Relativity

این متن در سطح تحصیلات تکمیلی و مبتنی بر دوره به فرمالیسم 3+1 نسبیت عام اختصاص داده شده است، که همچنین پایه های نظری نسبیت عددی را تشکیل می دهد. این کتاب با ایجاد پس‌زمینه ریاضی (هندسه دیفرانسیل، ابرسطح‌های تعبیه‌شده در فضا-زمان، برگ‌ریزی فضا-زمان توسط خانواده‌ای از ابرسطح‌های فضا مانند) شروع می‌شود و سپس به تجزیه 3+1 معادلات انیشتین می‌پردازد که باعث ایجاد آن می‌شود. به مشکل کوشی با محدودیت ها، که هسته فرمالیسم 3+1 را تشکیل می دهد. فرمول نسبیت عام ADM Hamiltonian نیز در این مرحله معرفی شده است. در نهایت، تجزیه ماده و معادلات میدان الکترومغناطیسی با تمرکز بر موارد مرتبط اخترفیزیکی یک سیال کامل و یک هادی کامل (مگنتوهیدرودینامیک ایده آل) ارائه شده است. بخش دوم کتاب موضوعات پیشرفته‌تری را معرفی می‌کند: تبدیل هم‌شکل 3 متریک در هر ابرسطح و بازنویسی متناظر معادلات 3+1 انیشتین، تقریب ایزنبرگ-ویلسون-متیوز به نسبیت عام، کمیت‌های جهانی مرتبط با مجانبی. صافی (جرم ADM، تکانه خطی و زاویه ای) و با تقارن (جرم کومار و تکانه زاویه ای). در بخش آخر، مسئله داده های اولیه بررسی شده، انتخاب مختصات فضازمان در چارچوب 3+1 مورد بحث قرار گرفته و طرح های مختلف برای ادغام زمانی معادلات 3+1 اینشتین بررسی می شود. پیش نیازهای یک درس نسبیت عام با محاسبات و مشتقات ارائه شده با جزئیات است که این متن را کامل و مستقل می کند. تکنیک های عددی در این کتاب پوشش داده نشده است.

This graduate-level, course-based text is devoted to the 3+1 formalism of general relativity, which also constitutes the theoretical foundations of numerical relativity. The book starts by establishing the mathematical background (differential geometry, hypersurfaces embedded in space-time, foliation of space-time by a family of space-like hypersurfaces), and then turns to the 3+1 decomposition of the Einstein equations, giving rise to the Cauchy problem with constraints, which constitutes the core of 3+1 formalism. The ADM Hamiltonian formulation of general relativity is also introduced at this stage. Finally, the decomposition of the matter and electromagnetic field equations is presented, focusing on the astrophysically relevant cases of a perfect fluid and a perfect conductor (ideal magnetohydrodynamics). The second part of the book introduces more advanced topics: the conformal transformation of the 3-metric on each hypersurface and the corresponding rewriting of the 3+1 Einstein equations, the Isenberg-Wilson-Mathews approximation to general relativity, global quantities associated with asymptotic flatness (ADM mass, linear and angular momentum) and with symmetries (Komar mass and angular momentum). In the last part, the initial data problem is studied, the choice of spacetime coordinates within the 3+1 framework is discussed and various schemes for the time integration of the 3+1 Einstein equations are reviewed. The prerequisites are those of a basic general relativity course with calculations and derivations presented in detail, making this text complete and self-contained. Numerical techniques are not covered in this book.