Quandles and Topological Pairs: Symmetry, Knots, and Cohomology

این کتاب نظریه quandle را بررسی می‌کند، از انگیزه‌های اولیه شروع می‌کند و در ادامه به معرفی پیشرفت‌های اخیر quandle با کاربردهای توپولوژیکی و موضوعات مرتبط می‌پردازد. این کتاب از جنبه‌های توپولوژیکی نوشته شده است، اما نشان می‌دهد که چقدر نظریه کوندل در ریاضیات ارزشمند است، و یک دوره تصادفی برای مطالعه کوندل‌ها است. به‌طور دقیق‌تر، این کار بر این دیدگاه تازه تأکید می‌کند که نظریه کوندل می‌تواند برای مطالعه کم مفید باشد. توپولوژی ابعادی (به عنوان مثال، نظریه گره) و اشیاء نسبی با تقارن. جهت تحقیق به این صورت خلاصه می شود: «ما مطالعات قبلی تقارن نسبی را به طور کامل (دوباره) بر حسب کوندل تفسیر خواهیم کرد. دیدگاه های موجود در اینجا را می توان با موضوعات زیر خلاصه کرد. اولین مورد روی اشیاء نسبی G/H است، که در آن G و H گروه هایی هستند، به عنوان مثال، چند وجهی، بازتاب و فضاهای متقارن. سپس، گسترش‌های مرکزی گروه‌ها مورد بحث قرار می‌گیرند، به عنوان مثال، ساختارهای اسپین، گروه‌های K2 و برخی ناهنجاری‌های هندسی. مبحث سوم روشی برای مطالعه اطلاعات نسبی در یک منیفولد سه بعدی با مرز است، به عنوان مثال، نظریه گره، محصولات فنجانی نسبی و هم‌شناسی گروه نسبی. برای کاربردها در توپولوژی، نشان داده شده است که از این منظر که برخی از نتایج موجود در توپولوژی را می توان از برخی کوندل ها بازیابی کرد، روشی برای محاسبه نموداری برخی "همسانی نسبی" ارائه شده است. (از آن زمان چنین کلاس هایی غیرقابل محاسبه و گمانه زنی تلقی می شوند). علاوه بر این، این کتاب دیدگاهی را ارائه می‌کند که برخی از مطالعات قبلی کوندل‌ها را متحد می‌کند. بخش قبلی کتاب انگیزه‌های مطالعه کوندل‌ها را توضیح می‌دهد و ویژگی‌های اساسی کوندل‌ها را مورد بحث قرار می‌دهد. دومی بر توپولوژی کم بعدی یا نظریه گره تمرکز دارد. در نهایت، مشکلات و احتمالات برای پیشرفت های آینده نظریه quandle مطرح شده است.

This book surveys quandle theory, starting from basic motivations and going on to introduce recent developments of quandles with topological applications and related topics. The book is written from topological aspects, but it illustrates how esteemed quandle theory is in mathematics, and it constitutes a crash course for studying quandles.More precisely, this work emphasizes the fresh perspective that quandle theory can be useful for the study of low-dimensional topology (e.g., knot theory) and relative objects with symmetry. The direction of research is summarized as “We shall thoroughly (re)interpret the previous studies of relative symmetry in terms of the quandle”. The perspectives contained herein can be summarized by the following topics. The first is on relative objects G/H, where G and H are groups, e.g., polyhedrons, reflection, and symmetric spaces. Next, central extensions of groups are discussed, e.g., spin structures, K2 groups, and some geometric anomalies. The third topic is a method to study relative information on a 3-dimensional manifold with a boundary, e.g., knot theory, relative cup products, and relative group cohomology.For applications in topology, it is shown that from the perspective that some existing results in topology can be recovered from some quandles, a method is provided to diagrammatically compute some “relative homology”. (Such classes since have been considered to be uncomputable and speculative). Furthermore, the book provides a perspective that unifies some previous studies of quandles.The former part of the book explains motivations for studying quandles and discusses basic properties of quandles. The latter focuses on low-dimensional topology or knot theory. Finally, problems and possibilities for future developments of quandle theory are posed.