Geometrical Themes Inspired by the N-body Problem

این یادداشت‌های سخنرانی با ارائه مجموعه‌ای از پیشرفت‌های اخیر در مسائل هندسی با الهام از مسئله N-جسم، رویکردهای مختلفی را برای مطالعه آنها ارائه می‌دهند، از متغیر تا پویا، در حالی که بینش‌های جدید ایجاد می‌کنند، انحرافات هندسی و توپولوژیکی ایجاد می‌کنند، و ارائه مراجع تاریخی.

A. هدف یادداشت‌های گیوت توصیف معادلات دیفرانسیل در حوزه پیچیده است، که با انگیزه تکامل ذرات N حرکت می‌کنند که بر روی صفحه تحت تأثیر میدان مغناطیسی حرکت می‌کنند. Guillot چنین معادلات دیفرانسیل را با استفاده از ساختارهای هندسی مختلف بر روی منحنی های پیچیده (به معنای W. Thurston) به منظور یافتن شرایط هم زمان بودن مطالعه می کند.

R. یادداشت‌های مونتگومری به نسخه‌ای از معادله سه جسمی نیوتنی مسطح می‌پردازد. یعنی، او این مشکل را بررسی می کند که آیا هر کلاس هموتوپی آزاد توسط یک ژئودزیک دوره ای تحقق می یابد یا خیر. راه حل شامل هندسه، سیستم های دینامیکی و انفجار مک گیهی است. یک نکته جدید در این رویکرد استفاده از تعادل انرژی به منظور ایجاد انگیزه در تحول مک گیهی است.

A. یادداشت‌های پدروزا مقدمه‌ای کوتاه بر همسانی لاگرانژی فلور و ارتباط آن با حل حدس Arnol'd در مورد حداقل تعداد نقاط ثابت غیر منحط یک دیفئومورفیسم همیلتونی ارائه می‌دهند.

Presenting a selection of recent developments in geometrical problems inspired by the N-body problem, these lecture notes offer a variety of approaches to study them, ranging from variational to dynamical, while developing new insights, making geometrical and topological detours, and providing historical references.

A. Guillot’s notes aim to describe differential equations in the complex domain, motivated by the evolution of N particles moving on the plane subject to the influence of a magnetic field. Guillot studies such differential equations using different geometric structures on complex curves (in the sense of W. Thurston) in order to find isochronicity conditions.

R. Montgomery’s notes deal with a version of the planar Newtonian three-body equation. Namely, he investigates the problem of whether every free homotopy class is realized by a periodic geodesic. The solution involves geometry, dynamical systems, and the McGehee blow-up. A novelty of the approach is the use of energy-balance in order to motivate the McGehee transformation.

A. Pedroza’s notes provide a brief introduction to Lagrangian Floer homology and its relation to the solution of the Arnol’d conjecture on the minimal number of non-degenerate fixed points of a Hamiltonian diffeomorphism.