Carleman Estimates and Applications to Inverse Problems for Hyperbolic Systems

این کتاب شرحی مستقل از روش مبتنی بر تخمین های کارلمن برای مسائل معکوس تعیین توابع متغیر مکانی معادلات دیفرانسیل از نوع هذلولی با داده های غیر تعیین کننده راه حل ها است. فرمول بندی با نقشه های دیریکله به نویمان متفاوت است و اغلب می تواند منحصر به فرد بودن جهانی و پایداری لیپشیتز را حتی با یک اندازه گیری ثابت کند. این نوع مسائل معکوس شامل مسائل معکوس ضریب تعیین پارامترهای فیزیکی در محیط های ناهمگن است که در بسیاری از کاربردهای مرتبط با الکترومغناطیس، کشش و پدیده های مرتبط ظاهر می شوند. اگرچه این روش در سال 1981 توسط بوخگیم و کلیبانوف ایجاد شد، توسعه جامع آن به تازگی انجام شده است. علیرغم کاربرد گسترده روش، تک نگاری های کمی وجود دارد که بر روی گزارش های ترکیبی تخمین های کارلمن و کاربردها برای مسائل معکوس تمرکز دارند. هدف این کتاب پر کردن این شکاف است. ابزار اصلی تخمین های کارلمن است که تئوری آن در یک چارچوب بسیار کلی ایجاد شده است، به طوری که روش استفاده از تخمین های کارلمن برای مسائل معکوس به اشتباه به عنوان بسیار دشوار درک می شود. هدف اصلی کتاب ارائه یک رویکرد قابل دسترس به روش شناسی است. برای دستیابی به این هدف، نویسندگان مشتق مستقیمی از تخمین‌های کارلمن را شامل می‌شوند، که این اشتقاق اساساً مبتنی بر حساب ابتدایی است که به‌طور انعطاف‌پذیر برای معادلات مختلف کار می‌کند. از آنجا که مسئله معکوس به شدت به معادلات مربوطه بستگی دارد، یک رویکرد خیلی کلی و انتزاعی ممکن است متعادل نباشد. بنابراین یک وسیله مستقیم و مشخص انتخاب شد نه تنها به این دلیل که برای خوانندگان دوستانه است، بلکه بسیار مرتبط تر است. بنا به ضرورت عملی، مطمئناً طیف گسترده ای از مسائل معکوس وجود دارد و روشی که در اینجا ترسیم شده است می تواند آنها را حل کند. هدف این است که خوانندگان آن روش را بیاموزند و سپس آن را برای حل مسائل معکوس جدید به کار ببرند.

This book is a self-contained account of the method based on Carleman estimates for inverse problems of determining spatially varying functions of differential equations of the hyperbolic type by non-overdetermining data of solutions. The formulation is different from that of Dirichlet-to-Neumann maps and can often prove the global uniqueness and Lipschitz stability even with a single measurement. These types of inverse problems include coefficient inverse problems of determining physical parameters in inhomogeneous media that appear in many applications related to electromagnetism, elasticity, and related phenomena. Although the methodology was created in 1981 by Bukhgeim and Klibanov, its comprehensive development has been accomplished only recently. In spite of the wide applicability of the method, there are few monographs focusing on combined accounts of Carleman estimates and applications to inverse problems. The aim in this book is to fill that gap. The basic tool is Carleman estimates, the theory of which has been established within a very general framework, so that the method using Carleman estimates for inverse problems is misunderstood as being very difficult. The main purpose of the book is to provide an accessible approach to the methodology. To accomplish that goal, the authors include a direct derivation of Carleman estimates, the derivation being based essentially on elementary calculus working flexibly for various equations. Because the inverse problem depends heavily on respective equations, too general and abstract an approach may not be balanced. Thus a direct and concrete means was chosen not only because it is friendly to readers but also is much more relevant. By practical necessity, there is surely a wide range of inverse problems and the method delineated here can solve them. The intention is for readers to learn that method and then apply it to solving new inverse problems.