Introduction à l’algèbre

Page de titre......Page 1
Avant-propos......Page 9
Avis au lecteur......Page 12
Partie I. NOTIONS FONDAMENTALES D\'ALGÈBRE - Bibliographie......Page 14
Chapitre premier. LA GENÈSE DE L\'ALGÈBRE......Page 15
§1. Aperçu historique......Page 16
§2. Quelques problèmes types......Page 19
1. Problème de résolubilité des équations par radicaux......Page 20
2. Problème sur les états d\'une molécule polyatomique......Page 21
3. Problème de codage d\'un message......Page 22
4. Problème de la plaquette chauffée......Page 23
1. Terminologie......Page 24
2. Équivalence des systèmes linéaires......Page 26
3. Réduction à la forme quasi triangulaire......Page 27
4. Discussion d\'un système d\'équations linéaires......Page 29
5. Quelques remarques et exemples......Page 31
§4. Déterminants d\'ordre peu élevé......Page 33
Exercices......Page 36
1. Ensembles......Page 37
2. Applications......Page 39
Exercices......Page 44
2. Relation d\'équivalence......Page 45
3. Factorisation des applications......Page 47
4. Ensembles ordonnés......Page 48
Exercices......Page 49
§7. Principe d\'induction mathématique (de récurrence)......Page 50
1. Théorème fondamental de l\'arithmétique......Page 54
3. Algorithme de division dans Z......Page 55
Exercices......Page 57
1. Motivation......Page 58
2. Définitions fondamentales......Page 59
3. Combinaisons linéaires. Enveloppe linéaire......Page 61
4. Dépendance linéaire......Page 62
5. Base. Dimension......Page 64
Exercices......Page 66
1. Retour aux équations......Page 67
2. Rang d\'une matrice......Page 68
3. Critère de compatibilité......Page 71
Exercices......Page 72
1. Matrices et applications......Page 73
2. Produit de matrices......Page 76
3. Matrices carrées......Page 78
Exercices......Page 84
1. Solutions d\'un système linéaire homogène......Page 85
2. Variétés linéaires. Solutions d\'un système non homogène......Page 88
3. Rang d\'un produit de matrices......Page 89
4. Classes de matrices équivalentes......Page 91
Exercices......Page 95
1. Construction par récurrence......Page 96
2. Propriétés fondamentales des déterminants......Page 99
1. Développement suivant une colonne......Page 106
2. Propriétés des déterminants par rapport aux colonnes......Page 107
3. Déterminant transposé......Page 108
4. Déterminants des matrices spéciales......Page 110
5. Sur la construction de la théorie des déterminants......Page 114
1. Critère de régularité d\'une matrice......Page 115
2. Détermination du rang d\'une matrice......Page 119
Exercices......Page 120
1. Opérations binaires......Page 123
2. Demi-groupes et monoïdes......Page 124
3. Associativité généralisée; puissances......Page 125
4. Eléments inversibles......Page 127
1. Définition et exemples......Page 128
2. Système de générateurs......Page 131
3. Groupes cycliques......Page 132
4. Groupe symétrique et groupe alterné......Page 135
Exercices......Page 142
1. Isomorphismes......Page 144
2. Homomorphismes......Page 147
3. Terminologie. Exemples......Page 149
4. Classes suivant un sous-groupe......Page 150
5. Monomorphisme S_n -> GL(n)......Page 154
Exercices......Page 157
1. Définition et propriétés générales des anneaux......Page 158
2. Congruences. Anneau des classes résiduelles......Page 161
3. Homomorphismes et idéaux des anneaux......Page 163
4. Notions de groupe quotient et d\'anneau quotient......Page 164
5. Types d\'anneaux. Corps......Page 167
6. Caractéristique d\'un corps commutatif......Page 171
7. Remarque sur les systèmes linéaires......Page 173
Exercices......Page 175
1. Construction auxiliaire......Page 177
2. Plan des nombres complexes......Page 179
3. Interprétation géométrique des opérations sur les nombres complexes......Page 180
4. Elévation à une puissance et extraction de racines......Page 183
5 Théorème d\'unicité......Page 186
Exercices......Page 189
1. Polynômes à une indéterminée......Page 190
2. Polynômes à plusieurs indéterminées......Page 195
3. Division euclidienne des polynômes......Page 198
Exercices......Page 200
1. Propriétés élémentaires de la divisibilité......Page 202
2. P.G.C.D. et P.P.C.M. dans les anneaux......Page 205
3. Les anneaux euclidiens sont factoriels......Page 207
4. Polynômes irréductibles......Page 210
Exercices......Page 213
1. Construction du corps des quotients d\'un anneau intègre......Page 214
2. Corps des fractions rationnelles......Page 216
3. Fractions simples......Page 218
Exercices......Page 221
1. Racines et facteurs linéaires......Page 223
2. Fonctions polynomiales......Page 226
3. Dérivations de l\'anneau des polynômes......Page 228
4. Facteurs multiples......Page 230
5. Formules de Viète......Page 232
Exercices......Page 234
1. Anneau des polynômes symétriques......Page 236
2. Théorème fondamental sur les polynômes symétriques......Page 237
3. Méthode des coefficients indéterminés......Page 239
4. Discriminant d\'un polynôme......Page 243
5. Résultant......Page 245
Exercices......Page 248
1. Énoncé du théorème fondamental......Page 249
2. Corps de décomposition d\'un polynôme......Page 251
3. Démonstration du théorème fondamental......Page 254
1. Décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]......Page 257
2. Problème de localisation des racines d\'un polynôme......Page 259
3. Polynômes stables......Page 264
Exercices......Page 265
Partie II. GROUPES. ANNEAUX. MODULES - Bibliographie......Page 267
1. Definitions générales......Page 269
2. Paramétrisation des groupes SU(2), SO(3)......Page 270
3. Epimorphisme SU(2) -> SO(3)......Page 272
4. Interprétation géométrique du groupe SO(3)......Page 274
1. Homomorphismes G -> S(Ω)......Page 275
2. Orbites et stabilisateurs des points......Page 276
3. Exemples d\'opérations des groupes sur les ensembles......Page 278
4. Espaces homogènes......Page 282
Exercices......Page 283
1. Théorèmes généraux sur les homomorphismes des groupes......Page 284
2. Groupes résolubles......Page 288
3. Groupes simples......Page 291
4. Produits de groupes......Page 293
5. Générateurs. Relations de définition......Page 295
Exercices......Page 300
§4. Théorèmes de Sylow......Page 302
Exercices......Page 307
1. Groupes abéliens primaires......Page 308
2. Théorème fondamental sur les groupes abéliens finis......Page 312
Exercices......Page 314
Chapitre 8. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES REPRÉSENTATIONS......Page 315
1. Notions fondamentales......Page 318
2. Exemples de représentations linéaires......Page 324
Exercices......Page 327
1. Représentations unitaires......Page 328
2. Réductibilité complète......Page 331
§3. Groupes finis des rotations......Page 334
1. Ordres des sous-groupes finis de SO(3)......Page 335
2. Groupes des polyèdres réguliers......Page 337
Exercices......Page 340
1. Lemme de Schur et son corollaire......Page 341
2. Caractères des représentations......Page 344
Exercices......Page 350
1. Nombre de représentations irréductibles......Page 351
2. Degrés des représentations irréductibles......Page 353
3. Représentations des groupes abéliens......Page 355
4. Représentations de certains groupes spéciaux......Page 357
Exercices......Page 360
§6. Représentations des groupes SU(2) et SO(3)......Page 363
1. Représentation duale......Page 366
2. Produit tensoriel de représentations......Page 367
3. Anneau de caractères......Page 371
4. Invariants des groupes linéaires......Page 374
Exercices......Page 378
1. Eléments primitifs et degrés des extensions......Page 380
2. Isomorphisme des corps de décomposition......Page 384
3. Corps commutatifs finis......Page 386
4. Formule d\'inversion de Möbius et ses applications......Page 390
Exercices......Page 396
1. Nouveaux exemples d\'anneaux factoriels......Page 398
2. Structures relatives à la théorie des anneaux......Page 402
3. Applications à la théorie des nombres......Page 405
Exercices......Page 408
1. Généralités sur les modules......Page 410
2. Modules libres......Page 414
3. Eléments entiers d\'un anneau......Page 417
1. Définitions et exemples d\'algèbres......Page 421
2. Algèbres à division (corps)......Page 423
3. Algèbres de groupes et modules sur ces algèbres......Page 426
4. Algèbres non associatives......Page 432
Exercices......Page 437
Annexe. FORME RÉDUITE DE JORDAN DES MATRICES......Page 438
Index......Page 448