Неоднородные граничные задачи и их приложения

Обложка ......Page 1
Шмутцтитул ......Page 2
Титульный лист ......Page 3
Аннотация ......Page 4
Предисловие к русскому изданию ......Page 5
Предисловие ......Page 7
1.1. Пространства Соболева ......Page 13
1.2. Случай всего пространства ......Page 16
1.3. Случай полупространства ......Page 18
2.1. Промежуточные пространства ......Page 21
2.2. Теоремы о плотности и о продолжении ......Page 23
2.3. Теорема о промежуточных производных ......Page 28
2.4. Один простой пример ......Page 31
3.1. Свойства непрерывности элементов из $W(a, b)$ ......Page 32
3.2. Теорема о следах ......Page 34
4.2. Теоремы о «промежуточных производных» н следах ......Page 38
5.1. Основная теорема ......Page 41
5.2. Интерполяция семейства операторов ......Page 42
6.1. Повторная интерполяция ......Page 43
6.2. Двойственность ......Page 44
7.1. Пространства $H^s(R^n)$ ......Page 45
7.2. Следы на границе полупространства ......Page 47
7.3. Пространства $H^s(\Gamma)$ ......Page 48
8.1. Теорема о продолжении и о плотности ......Page 53
8.2. Теорема о следах ......Page 55
9.1. Определение с помощью интерполяции ......Page 56
9.2. Теорема о следах в $H^s(\Omega)$ ......Page 58
9.3. Интерполяция пространств $H^s(\Omega)$ ......Page 60
9.4. Свойства регулярности функций из $H^s(\Omega)$ ......Page 62
10.1. Области определения полугрупп ......Page 64
10.2. Приложение к $H^s(R^n)$ ......Page 69
10.3. Приложение к $H^s(0,\infty)$ ......Page 70
11.1. Пространства $H^s_0(\Omega)$ ......Page 71
11.2. Об одном свойстве пространств $H^s(\Omega)$, $0\leq s < 1/2$ ......Page 74
11.З. Продолжение нулем вне $\Omega$ ......Page 78
11.4. Характеристические свойства пространств $H^s_0(\Omega)$ ......Page 80
11.5. Интерполяция пространств $H^s_0(\Omega)$ ......Page 82
12.1. Определение. Простейшие свойства ......Page 90
12.3. Интерполяция между пространствами $H^{s_1}_0(\Omega)$ и $H^{-s_2}(\Omega)$, $s_i>0$ ......Page 92
12.4. Интерполяция между $H^{s_1}(\Omega)$ и $H^{-s_2}(\Omega)$, $s_i>0$ ......Page 93
12.5. Интерполяция между $H^{s_1}(\Omega)$ и $(H^{s_2}(\Omega))'$ ......Page 97
12.6. Интерполяция между $H^{s_1}_0(\Omega)$ и $(H^{s_2}(\Omega))'$ ......Page 98
12.7. Одна лемма ......Page 101
12.8. Дифференциальные операторы в $H^s(\Omega)$ ......Page 106
12.9. Инвариантность пространств $H^s(\Omega)$ относительно диффеоморфизмов ......Page 107
13.1. Общий результат ......Page 108
13.3. Пример применения (II) ......Page 109
13.4. Интерполяция фактор пространств ......Page 112
14.1. Один общий результат ......Page 114
14.2. Интерполяция пространств непрерывных функций со значениями в гильбертовых пространствах ......Page 117
14.3. Один результат об интерполяции подпространств ......Page 119
15. Другое внутреннее определение пространств $[X,Y]_\theta$ ......Page 121
16. Свойства компактности ......Page 123
17. Примечания ......Page 126
18. Проблемы ......Page 130
1.1. Эллиптические операторы ......Page 133
1.2. Собственно эллиптические и сильно эллиптические операторы ......Page 134
1.3. Предположения о гладкости области $\Omega$ и коэффициентов оператора ......Page 135
1.4. Граничные операторы ......Page 136
2.1. Оператор, сопряженный с $A$ в смысле теории распределений, или оператор, формально сопряженный с $A$ ......Page 138
2.3. Доказательство теоремы ......Page 139
2.4. Один вариант формулы Грина ......Page 145
2.5. Задачи, формально сопряженные относительно формулы Грина ......Page 146
3.1. Две леммы ......Page 147
3.2. Априорные оценки в $R^n$ ......Page 149
3.3. Гладкость внутри области $\Omega$ и гипоэллиптичность эллиптических операторов ......Page 151
4.1. Другая формулировка условий накрытия ......Page 153
4.2. Одна лемма Об обыкновенных дифференциальных уравнениях ......Page 156
4.3. Первое применение: доказательство теоремы 2.2 ......Page 160
4.4. Априорные оценки в полупространстве для операторов с постоянными коэффициентами ......Page 163
4.5. Априорные оценка в полупространстве для операторов с переменными коэффициентами ......Page 169
5.1. Априорные оценки в ограниченной области $\Omega$ ......Page 178
5.2. Существование решений в пространствах $H^s(\Omega)$ при целом $s\geq 2m$ ......Page 184
5.3. Уточненная формулировка условий совместности, обеспечивающих разрешимость задачи ......Page 188
5.4. Существование решений в пространствах $H^s(\Omega)$ прн вещественном $s\geq 2m$ ......Page 190
6.1. Метод транспонирования; общая идея ......Page 191
6.2. Выбор формы $L$ ......Page 193
6.3. Пространства $\Xi^s(\Omega)$ и $D^s_A(\Omega)$ ......Page 196
6.4. Теорема о плотности ......Page 200
6.5. Теорема о следах и формула Грина для пространства $D^s_A(\Omega)$, $s\leq 0$ ......Page 202
6.6. Существование решений в пространствах $D^s_A(\Omega)$ при $s\leq 0$ ......Page 204
7.1. Новые свойства пространств $\Xi^s(\Omega)$ ......Page 207
7.2. Применение интерполяции; первые результаты ......Page 213
7.3. Окончательные результаты ......Page 215
8.1. Непрерывность следов на поверхностях, близких к $\Gamma$ ......Page 219
8.2. Одно обобщение; применение к задаче Дирихле ......Page 221
8.3. Замечания относительно условий на операторы $A$ н $B_j$ ......Page 223
8.4. Реализация оператора $А$ в $L^2(\Omega)$ ......Page 224
8.5. Несколько замечаний об индексе оператора $\mathcal{P}$ ......Page 226
8.6. Теоремы единственности и сюръективности ......Page 227
9.1. Вариационные задачи ......Page 228
9.2. Постановка задачи ......Page 231
9.3. Контрпример ......Page 232
9.4. Вариационная формулировка и формула Грина ......Page 233
9.5. «Конкретные» вариационные задачи ......Page 236
9.6. Коэрцитивные формы и коэрцитивные задачи ......Page 238
9.7. Гладкость решений ......Page 241
9.8. Обобщения (I) ......Page 242
9.9. Обобщения (II) ......Page 244
10. Примечания ......Page 245
11. Проблемы ......Page 255
1.1. Обозначения ......Page 257
1.3. Сопряженный оператор $\Lambda^\ast$ ......Page 260
1.4. Доказательство теоремы 1.1 ......Page 261
2.3. Транспонирование ......Page 262
3 2 Характеризация интерполяционных пространств ......Page 263
3.3. Случай $\theta=1/2$ ......Page 264
4.2. Оператор $M$ ......Page 265
4.3. Оператор $\Lambda$ ......Page 267
4.4. Применение теорем об изоморфизме ......Page 268
4.5. Выбор $L$ в (4.20) ......Page 270
4.6. Интерпретация задачи ......Page 271
4.7. Примеры ......Page 274
5.1. Несколько результатов об интерполяции ......Page 285
5.2. Интерпретация пространств $\Phi^{1/2}$ и $\Phi^{1/2}_\ast$ ......Page 288
6.2. Применение теорем об изоморфизме ......Page 289
6.3. Выбор $L$ ......Page 290
6.5. Изоморфизм из $\Phi^{1/2}$ на его двойственное ......Page 291
7.1. Эллиптическая задача ......Page 292
7.2. Переход к пределу ......Page 294
8.2. Теорема существования и единственности ......Page 296
8.3. Замечания относительно применения общей теории § 1 ......Page 302
8.4. Дополнительный результат о регулярности ......Page 307
8.5. Параболическая регуляризация ......Page 312
9.1. Сопряженный изоморфизм ......Page 315
9.3. Выбор $L$ ......Page 316
9.4. Теорема о следах ......Page 318
9.5. Прямой метод ......Page 320
9.6. Примеры ......Page 325
10.1. Постановка задачи ......Page 331
10.2. Теорема существования и единственности ......Page 332
11.2. Транспонирование отображения (11.5) ......Page 335
11.3. Выбор $L$ ......Page 336
12. Примечания ......Page 337
13. Проблемы ......Page 340
Библиография ......Page 342
ОГЛАВЛЕНИЕ ......Page 368
Выходные данные ......Page 372