Yanqi Lake Lectures on Algebra

Foreword......Page 10
Backgrounds......Page 12
Fields......Page 14
Algebraicity......Page 15
The algebraic closure......Page 18
Splitting fields and normality......Page 20
Separability......Page 22
Purely inseparable extensions......Page 25
The primitive element theorem......Page 26
Galois extensions and Galois groups......Page 27
Infinite Galois extensions......Page 34
Linear independence of characters......Page 36
Norm and trace......Page 37
Finite fields......Page 39
Abstract Kummer theory......Page 41
Cyclotomic polynomials......Page 45
Review: rings and ideals......Page 48
Modules: basic definitions......Page 49
Direct sums and free modules......Page 51
Exact sequences......Page 53
Chain conditions......Page 54
Hilbert basis theorem......Page 57
Categories at a glance......Page 58
Functors and natural transformations......Page 59
Balanced products and tensor products......Page 61
Functorial properties of tensor products......Page 63
Algebras......Page 65
Simple and semisimple modules......Page 70
Schreier's refinement theorem......Page 73
Jordan-Hölder theorem......Page 76
Direct sum decompositions......Page 77
Krull-Remak-Schmidt theorem......Page 79
Wedderburn-Artin theory for semisimple rings......Page 82
Double centralizer property......Page 87
Another approach to the Wedderburn-Artin Theorem......Page 88
Jacobson radicals......Page 89
Semiprimitivity versus semisimplicity......Page 92
Intermezzo: der Nullstellensatz......Page 94
Primitive rings and primitive ideals......Page 95
Density theorems......Page 96
Structure theory for primitive rings......Page 97
Finite-dimensional algebras: Burnside's Theorem......Page 99
Basic properties of central simple algebras......Page 102
Splitting fields......Page 107
Brauer groups......Page 109
Rational structure on vector spaces......Page 111
Reduced norms and reduced traces......Page 112
Example: quaternion algebras......Page 114
Review of categorical nonsense......Page 118
Morita contexts......Page 121
Progenerators......Page 123
Main theorems......Page 126
Applications......Page 129
Representation of algebras......Page 132
Characters......Page 135
The group algebra......Page 136
Representations and characters of finite groups......Page 140
Change of rings......Page 146
Induced representations......Page 148
Mackey's criterion......Page 150
Induced characters......Page 152
An application: supersolvable groups......Page 153
Review: the symmetric groups......Page 156
Young diagrams, tableaux and tabloids......Page 157
Specht modules......Page 159
Representations of Sn......Page 161
Odds and ends......Page 163
Group-theoretic backgrounds......Page 166
Representation-theoretic backgrounds......Page 167
Brauer's theorem......Page 168
Applications......Page 171
Bibliography......Page 174
Index......Page 178