Yamabe-type Equations on Complete, Noncompact Manifolds

هدف این تک نگاری ارائه مقدمه ای مستقل از برخی جنبه های هندسی و تحلیلی مسئله یامابه است. این کتاب همچنین طیف گسترده‌ای از روش‌ها و تکنیک‌هایی را توصیف می‌کند که می‌توان با موفقیت در معادلات دیفرانسیل غیرخطی در موقعیت‌های چالش برانگیز به‌کار برد. چنین شرایطی در جایی اتفاق می‌افتد که فقدان فشردگی، تقارن و همگنی از استفاده از ابزارهای استانداردتر که معمولاً در موقعیت‌های فشرده یا برای محیط اقلیدسی استفاده می‌شوند، جلوگیری می‌کند. این اثر به سبکی آسان نوشته شده است که حتی برای افراد غیرمتخصص نیز قابل دسترسی است.

پس از بررسی مستقل ابزارهای هندسی به کار رفته در کتاب، خوانندگان با موضوع اصلی با استفاده از ابزار آشنا می شوند. مطالعه مختصر اما واضح برخی از جنبه های مشکل Yamabe در منیفولدهای فشرده. این مطالعه انگیزه و احساس هندسی را برای بخش بعدی کار فراهم می کند. در بخش اصلی کتاب، نشان داده شده است که چگونه هندسه و تجزیه و تحلیل معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی با هم ترکیب می شوند تا نتایج به روزی در مورد وجود، عدم وجود، منحصر به فرد بودن و تخمین های پیشینی برای حل معادلات عمومی نوع Yamabe ارائه دهند. و نابرابری در منیفولدهای ریمانی کامل و غیر فشرده.

The aim of this monograph is to present a self-contained introduction to some geometric and analytic aspects of the Yamabe problem. The book also describes a wide range of methods and techniques that can be successfully applied to nonlinear differential equations in particularly challenging situations. Such situations occur where the lack of compactness, symmetry and homogeneity prevents the use of more standard tools typically used in compact situations or for the Euclidean setting. The work is written in an easy style that makes it accessible even to non-specialists.

After a self-contained treatment of the geometric tools used in the book, readers are introduced to the main subject by means of a concise but clear study of some aspects of the Yamabe problem on compact manifolds. This study provides the motivation and geometrical feeling for the subsequent part of the work. In the main body of the book, it is shown how the geometry and the analysis of nonlinear partial differential equations blend together to give up-to-date results on existence, nonexistence, uniqueness and a priori estimates for solutions of general Yamabe-type equations and inequalities on complete, non-compact Riemannian manifolds.