Waves in Neural Media: From Single Neurons to Neural Fields

​امواج در رسانه های عصبی: از تک نورون ها تا میدان های عصبی مدل های ریاضی امواج سیار در مغز را بررسی می کند، از امواج درون سلولی در تک نورون ها تا امواج فعالیت در مقیاس بزرگ. شبکه های مغزی این کار یک حساب آموزشی از روش‌های تحلیلی برای یافتن راه‌حل‌های موج سیار از انواع معادلات دیفرانسیل غیرخطی که در چنین مدل‌هایی ایجاد می‌شوند، ارائه می‌کند. اینها شامل روش‌های اغتشاش منظم و منفرد، تحلیل غیرخطی ضعیف، توابع ایوانز و پایداری موج، نظریه همگن‌سازی و میانگین‌گیری و فرآیندهای تصادفی است. همچنین در متن، روش‌های دقیق حل در مواردی که قابل اجرا هستند، پوشش داده شده است. از نظر تاریخی، انتشار پتانسیل‌های عمل، ریاضیات جدیدی را الهام‌بخش کرده است، به ویژه با توجه به نظریه امواج PDE در رسانه‌های تحریک‌پذیر. اخیراً، مدل‌های میدان عصبی پیوسته شبکه‌های مغزی در مقیاس بزرگ، مجموعه جدیدی از سؤالات ریاضی جالب را با توجه به حل معادلات انتگرو-دیفرانسیل غیرمحلی ایجاد کرده‌اند.

فارغ التحصیلان پیشرفته، محققان فوق دکترا و اساتیدی که در زمینه زیست شناسی ریاضی، علوم اعصاب نظری، یا دینامیک غیرخطی کاربردی کار می کنند، این کتاب را منبع ارزشمندی خواهند یافت. پیش نیازهای اصلی یک دوره مقدماتی فارغ التحصیل در معادلات دیفرانسیل معمولی یا معادلات دیفرانسیل جزئی است که این امر را به یک سهم قابل دسترس و منحصر به فرد در زمینه زیست شناسی ریاضی تبدیل می کند.

​Waves in Neural Media: From Single Neurons to Neural Fields surveys mathematical models of traveling waves in the brain, ranging from intracellular waves in single neurons to waves of activity in large-scale brain networks. The work provides a pedagogical account of analytical methods for finding traveling wave solutions of the variety of nonlinear differential equations that arise in such models. These include regular and singular perturbation methods, weakly nonlinear analysis, Evans functions and wave stability, homogenization theory and averaging, and stochastic processes. Also covered in the text are exact methods of solution where applicable. Historically speaking, the propagation of action potentials has inspired new mathematics, particularly with regard to the PDE theory of waves in excitable media. More recently, continuum neural field models of large-scale brain networks have generated a new set of interesting mathematical questions with regard to the solution of nonlocal integro-differential equations.

Advanced graduates, postdoctoral researchers and faculty working in mathematical biology, theoretical neuroscience, or applied nonlinear dynamics will find this book to be a valuable resource. The main prerequisites are an introductory graduate course on ordinary differential equations or partial differential equations, making this an accessible and unique contribution to the field of mathematical biology.