Wavelets Through a Looking Glass: The World of the Spectrum

\"کلمات صرف نمی‌توانند به اندازه کافی تمام ویژگی‌های عالی کتاب را توصیف کنند... که چیزی برای همه از هر گرایش ریاضی دارد... این کتاب دیدگاهی کاملاً متفاوت از سایر تک نگاری‌های موجک دارد. .. عمدتاً به این دلیل که بر دامنه فوریه به عنوان \"پنجره\" یا \"شیشه ظاهری\" مناسب تأکید می کند که از آن می توان به آسانی نظریه موجک را مطالعه کرد... سطح تخصص او در مورد موضوع هر چه باشد، خواننده. این کتاب هرگز خسته نخواهد شد... هر فصل با یک بخش مقدماتی قابل دسترسی برای افراد غیر معمول شروع می شود، که اغلب حاوی برخی پیشینه تاریخی و اغلب بسیار سرگرم کننده است... این یک کتاب سرگرم کننده است، پر از نتایج جدید هیجان انگیز، نوشته شده است. توسط دو متخصص مشهور جهان در این زمینه، که بین انواع حوزه های مهم در ریاضیات محض و کاربردی ارتباط برقرار می کند.\"

—SIAM Review

\"این یک کتاب موجک کاملاً غیرمعمول است، با دیدگاهی تازه در مورد این موضوع. در حالی که اکثریت قریب به اتفاق کتاب های موجک بر تجزیه و تحلیل چند وضوح و کاربردهای آن تمرکز دارند، این کتاب موضوع را از دیدگاه تئوری عملگر، با تمرکز، بررسی می کند. بر روی تکنیک هایی که طعم نظری هندسی یا طیفی دارند. در واقع، در حالی که بخش‌هایی از کتاب را می‌توان در یک دوره موجک استفاده کرد، بخش‌های دیگر در درسی که به سمت نظریه عملگر هدایت می‌شود، مناسب خواهند بود.\"

—Zentralblatt Math</ P>

\"نویسندگان نگاهی تازه به موضوع دارند و شهود جدیدی را برای بسیاری از موضوعات ایجاد می کنند. به ویژه، آنها از نظریه طیفی بیش از آنچه در این موضوع معمول است استفاده می کنند. هر [فصل] مقدمه ای برای موضوعات فصل دارد و توضیح می دهد که چرا آنها مورد بحث قرار گرفته اند و از کجا آمده اند. ارتباط با بسیاری از حوزه های دیگر از ریاضیات و فیزیک وجود دارد که معمولاً با نظریه موجک مرتبط نیستند. . . پایان هر فصل دارای مجموعه‌ای از مسائل است که در آن بسیاری از نظریه استاندارد توسط خواننده قابل حل است. همچنین واژه نامه ای از اصطلاحات مفید در پایان فصل 1 وجود دارد که در آن بسیاری از اصطلاحات وجود دارد. . . هم از نظر ریاضی و هم از منظر کاربردی به وضوح تعریف شده اند.\"

—بررسی های ریاضی

\"این کتاب کار بسیار خوبی برای نشان دادن دارد. غنای نظریه موجک . . . نویسندگان ارتباط بیشتری با نظریه طیفی، نظریه ارگودیک، نظریه هموتوپی و نظریه احتمال نشان داده‌اند. . . در عین حال مطالب به زیبایی با استفاده از . . . ارقام . . . و تصاویر . . . آموزش با چندین پاراگراف نثر روشنگر در ابتدای هر فصل بیشتر می شود. . . اگرچه به عنوان یک متن متعارف نوشته نشده است، . . . یک دانشجوی فارغ التحصیل سخت کوش می تواند از قرار گرفتن در معرض این کتاب سود زیادی ببرد. با توجه به ادبیات موجک، به یاد آوردن کتاب دیگری که به خوبی با جزئیات گرافیکی و عددی و همچنین اثبات ریاضی مستند شده باشد، دشوار است. این جلد برای سال‌های آینده یک اثر اصلی باقی خواهد ماند.\"

—مارک پینسکی، دانشگاه نورث وسترن

\"این کتاب توسط براتلی و یورگنسن به عنوان مقدمه ای برای تئوری موجک ها و همچنین به روز رسانی با آخرین مشکلات تحقیقاتی عمل می کند. در حالی که کتاب‌های خوب زیادی در مورد موجک‌ها وجود دارد، «موجک‌ها از طریق یک شیشه‌ی نگاه» چشم‌انداز تازه‌ای را در این زمینه به ارمغان می‌آورد. این نظریه از نقطه نظر تئوری عملگر و تحلیل عملکردی، با تاکید بر ارتباط بین خواص طیفی عملگرها بر روی داده‌های گسسته و ویژگی‌های هندسی توابع موجک در همتای پیوسته پوشش داده می‌شود. این کتاب شامل نتایج کلاسیک کنونی نظریه موجک، مانند ساخت چند وضوح و همبستگی با اپراتور انتقال، و همچنین برخی از نتایج جدید نویسندگان (برای اولین بار در اینجا منتشر می شود)، مانند قضیه شاخص یا چندین طیف طیفی است. ویژگی های اپراتور انتقال.\" --- جی. نظریه اپراتور

\"این کتاب به طور کلی برخی از پیشرفت های اخیر در نظریه موجک را با تاکید بر تکنیک ها ارائه می دهد. که هم بنیادی و هم نسبتاً بی‌زمان هستند و طعم هندسی و نظری طیفی دارند. این نمایشگاه به وضوح انگیزه دارد و به طور سیستماتیک توسط گرافیک های متعدد کمک می کند. گرافیک عالی نشان می دهد که چگونه موجک ها به طیف عملگرهای انتقال بستگی دارند. برخی از نتایج جدید برای اولین بار ارائه می شوند.\" ---خبرنامه EMS

"Mere words cannot adequately describe all the great features of the book...which has something for everyone of all mathematical persuasions.... This book has quite a different perspective from the other monographs on wavelets...mainly because it emphasizes the Fourier domain as the proper "window" or "looking glass" from which one can most easily study wavelet theory.... Whatever his or her level of expertise with the subject, a reader of this book will never be bored.... Each chapter begins with an introductory section accessible to the layperson, often containing some historical background, and often extremely entertaining.... This is a fun book, full of exciting new results, written by two world-renowned experts in the field, which makes connections between a variety of important areas in pure and applied mathematics."

—SIAM Review

"This is a quite unusual wavelet book, with a fresh view on the subject. While the vast majority of wavelet books concentrate on multiresolution analysis and its applications, this book treats the topic from an operator theoretic point of view, with a focus on techniques having a geometric or spectral theoretic flavor. In fact, while parts of the book could be used in a wavelet course, other parts would be suitable in a course directed towards operator theory."

—Zentralblatt Math

"The authors take a fresh look at the subject and develop a new intuition for many topics. In particular, they make more extensive use of spectral theory than is usual in the subject. Each [chapter has] an introduction to the topics in the chapter and explains why they are discussed and where they come from. There are connections with many other areas of mathematics and physics not usually associated with wavelet theory . . . The end of each chapter has a large selection of problems in which much of the standard theory can be worked out by the reader. There is also a glossary of useful terms at the end of Chapter 1 where many of the terms . . . are clearly defined both from a mathematical and an applications point of view."

—Mathematical Reviews

"This book does a superlative job of demonstrating the richness of the theory of wavelets . . . The authors have demonstrated further connections with spectral theory, ergodic theory, homotopy theory and the theory of probability . . . At the same time the material is beautifully documented by means of . . . figures . . . and illustrations . . . The pedagogy is further enhanced by several paragraphs of illuminating prose at the beginning of each chapter . . . Although not written as a conventional text, . . . an industrious graduate student could profit enormously from exposure to this book. With respect to the literature on wavelets, it is difficult to recall any other book that is so well documented both with graphical and numerical details as well as mathematical proof. This volume will remain a central work for many years to come."

—Mark Pinsky, Northwestern University

"This book by Bratteli and Jorgensen serves as an introduction to the theory of wavelets and also a bringing up to date with the latest research problems. While there are many good books on wavelets, 'Wavelets Through a Looking Glass' brings a fresh perspective on the field. The theory is covered from the point of view of operator theory and functional analysis, with an emphasis on the connection between the spectral properties of the operators on the discrete data and the geometric features of the wavelet functions in the continuous counterpart. The book includes the now classical results of wavelet theory, such as the multiresolution construction and the correlation to the transfer operator, as well as some new results of the authors (published here for the first time), such as the index theorem or several spectral preperties of the transfer operator." --- J. Operator Theory

"The book gives a general persetnation of some recent developments in wavelet theory, with an emphasis on techniques that are both fundamental and relatively timeless haveing a geometric and spectral-theoretic flavour. The exposition is clearly motivated and unfolds systematically aided by numerous graphics. Excellent graphics show how wavelets depend on the spectra of the transfer operators. Some new results are presented for the first time." ---EMS Newsletter