Vektoranalysis

کتابهای تحلیل برداری معمولاً با تعریف بردار به عنوان یک کلاس هم ارزی از بخش های جهت دار شروع می شوند - یا به طور دقیق تر، به عنوان کمیتی که هم جهت و هم طول دارد. این مقدمه به دلیل مفهوم به ظاهر ساده اش به یاد ماندنی است، اما مشکلات منطقی را معرفی می کند که برای حل آنها نیاز به رویکرد دقیق دارد. در نتیجه، دانش آموزان اغلب در درک کامل آغاز تحلیل برداری مشکل دارند و به سرعت اعتماد به نفس خود را از دست می دهند. نقص دیگر این است که در توسعه بیشتر اغلب به نمای هندسی متوسل می شود و دقت زیادی لازم است تا ارتباطات تحلیلی محو یا نادیده گرفته نشود. بنابراین به عنوان مثال به عنوان مثال، به ندرت مشخص است که در تعریف گرادیان یک میدان اسکالر، واگرایی یا چرخش یک میدان برداری، باید فرض کرد که میدان ها به طور پیوسته قابل تمایز هستند و صرف وجود مشتقات جزئی مرتبه اول ناکافی است مقدمه تحلیل برداری انتخاب شده در این جلد بر اساس تعریف بردار با استفاده از مولفه های دکارتی مستطیلی است که قوانین تبدیل داده شده را هنگام تغییر محورها برآورده می کند. این رویکرد در 10 سال گذشته با موفقیت در دوره های مقدماتی برای ریاضیدانان و سایر دانشمندان استفاده شده است و مزایای متعددی را ارائه می دهد. قوانین جمع و تفریق بردارها، محاسبه نقطه و حاصلضرب بردار و تمایز به راحتی در دسترس هستند و توانایی دستکاری بردارها به راحتی به دانش آموزان اعتماد به نفس فوری می دهد. ورود بعدی به نظریه میدان های برداری طبیعی به نظر می رسد، زیرا گرادیان، واگرایی و چرخش به شکل مختصات آنها تعریف می شوند.

Bücher über Vektoranalysis beginnen üblicherweise mit der Definition eines Vektors als Äquivalenzklasse gerichteter Strecken - oder weniger genau, als Größe, die sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Diese Einführung ist wegen ihres einfach erscheinenden Konzeptes einprägsam, aber sie führt zu logischen Schwierigkeiten, die nur durch sorgfältiges Vorgehen gelöst werden können. Folgerichtig haben Studenten oft Probleme, die Anfänge der Vektoranalysis vollständig zu verstehen und verlieren schnell an Vertrauen. Eine andere Unzulänglichkeit ist es, daß bei der weiteren Entwicklung häufig auf die geometrische Anschauung zurückgegriffen wird und viel Sorgfalt nötig ist, um analytische Zusammenhänge nicht zu verwischen oder zu übersehen. So wird z. B. selten klar, daß bei der Definition des Gradienten eines Skalarfeldes, der Divergenz oder der Rotation eines Vektorfeldes vorausgesetzt werden muß, daß die Felder stetig differenzierbar sind und daß die bloße Existenz der partiellen Ableitungen erster Ordnung unzureichend ist. Der Einstieg in die Vektoranalysis, der in diesem Band gewählt wurde, basiert auf der Definition eines Vektors mit Hilfe rechtwinkliger kartesischer Komponenten, die bei einer Änderung der Achsen vorgegebene Transformationsgesetze erfüllen. Dieser Einstieg wurde seit 10 Jahren erfolgreich in Anfängervorlesungen für Mathematiker und andere Naturwissenschaftler benutzt und bietet einige Vorteile. Regeln zur Addition und Subtraktion von Vektoren, zur Berechnung des Skalar- und Vektor­ produktes und zum Differenzieren sind schnell greifbar und die Möglichkeit, Vektoren so einfach zu handhaben, gibt den Studenten unmittelbares Zutrauen. Der spätere Einstieg in die Theorie der Vektorfelder erscheint natürlich, da Gradient, Divergenz und Rotation in ihrer Koordinatenform definiert sind.