Variations on a Theme of Euler: Quadratic Forms, Elliptic Curves, and Hopf Maps

شش فصل اول و ضمیمه 1 این کتاب به زبان ژاپنی در کتابی با همین عنوان 15 سال قبل (Jikkyo, Tokyo, 1980) به زبان ژاپنی ظاهر شد. بنا به درخواست برخی از افرادی که تمایلی به یادگیری ژاپنی ندارند، تصمیم گرفتم کار قدیمی ام را به انگلیسی بازنویسی کنم. این بار، یک فصل در مورد حساب نقشه های درجه دوم (فصل 7) و پیوست 2، بررسی کوتاهی از تحقیقات بعدی در مورد اعداد متجانس، توسط M. Kida اضافه کردم. حدود 20 سال پیش، در حالی که صفحات Selecta Heinz Hopj (اسپرینگر، 1964) را مرور می کردم، متوجه سیستمی از سه شکل درجه دوم در چهار متغیر با ضریب Z شدم که نقشه 3 کره را به کره 2 می دهد. Hopf invariant r =1 (ر.ک. Selecta، ص 52). بلافاصله تصور می کنم که یکی از جنبه های نظریه اعداد کلاسیک و مدرن، از جمله اشکال درجه دوم (فیثاغورث، فرما، اویلر، و گاوس) و منحنی های بیضوی فضایی به عنوان تقاطع سطوح درجه دوم (فیبوناچی، فرما، و اویلر) را می توان به عنوان عدد در نظر گرفت. تئوری نقشه های درجه دوم - به ویژه نقشه هایی که n-کره را به کره m می فرستند، یعنی نقشه های Hopf تعمیم یافته. با در نظر گرفتن این موارد، چندین سخنرانی در دانشگاه جانز هاپکینز ارائه کردم (موضوعات نظریه اعداد، 1973-1974، 1975-1976، 1978-1979، و 1979-1980). این سخنرانی‌ها لزوماً شامل سه حوزه اصلی ریاضیات زیر بود: v vi مقدمه تتا توابع ساده Aigebras منحنی‌های بیضوی نظریه اعداد شکل P.l.

The first six chapters and Appendix 1 of this book appeared in Japanese in a book of the same title 15years aga (Jikkyo, Tokyo, 1980).At the request of some people who do not wish to learn Japanese, I decided to rewrite my old work in English. This time, I added a chapter on the arithmetic of quadratic maps (Chapter 7) and Appendix 2, A Short Survey of Subsequent Research on Congruent Numbers, by M. Kida. Some 20 years ago, while rifling through the pages of Selecta Heinz Hopj (Springer, 1964), I noticed a system of three quadratic forms in four variables with coefficientsin Z that yields the map of the 3-sphere to the 2-sphere with the Hopf invariant r =1 (cf. Selecta, p. 52). Immediately I feit that one aspect of classical and modern number theory, including quadratic forms (Pythagoras, Fermat, Euler, and Gauss) and space elliptic curves as intersection of quadratic surfaces (Fibonacci, Fermat, and Euler), could be considered as the number theory of quadratic maps-especially of those maps sending the n-sphere to the m-sphere, i.e., the generalized Hopf maps. Having these in mind, I deliveredseverallectures at The Johns Hopkins University (Topics in Number Theory, 1973-1974, 1975-1976, 1978-1979, and 1979-1980). These lectures necessarily contained the following three basic areas of mathematics: v vi Preface Theta Simple Functions Aigebras Elliptic Curves Number Theory Figure P.l.