Variational Problems with Concentration

برای شروع، ما دو کاربرد از تئوری را که در این مقاله توسعه می‌یابد شرح می‌دهیم: مسئله مرز آزاد برنولی و مسئله پلاسما. مسئله مرز آزاد برنولی این مشکل در الکترواستاتیک، دینامیک سیالات، عایق بهینه و الکتروشیمی به وجود می آید. از نظر الکترواستاتیک، وظیفه طراحی یک چگالنده حلقوی متشکل از یک سطح رسانای تعیین شده 80 و یک رسانای ناشناخته A است به طوری که میدان الکتریکی 'Vu در قدر سطح 8A رسانای دوم ثابت باشد (شکل 1.1). این منجر به مشکل مرز آزاد زیر برای پتانسیل الکتریکی u می شود. -~u 0 در 0. \A، u 0 در 80.، u 1 در 8A، 8u Q در 8A. 811 مجهولات مرز آزاد 8A و پتانسیل u هستند. در مسائل بهینه در عایق بندی، دامنه 0. \ A نشان دهنده لایه عایق است. با توجه به مرز بیرونی 80. مشکل طراحی یک لایه عایق 0. \ A با حجم معین است که نشت گرما یا جریان از A به محیط را به حداقل می رساند ]R.n \ n. نشت گرما در واحد زمان ظرفیت مجموعه A نسبت به n است. بنابراین ما به دنبال به حداقل رساندن ظرفیت در بین تمام مجموعه های A c 0. با حجم برابر هستیم.

To start with we describe two applications of the theory to be developed in this monograph: Bernoulli's free-boundary problem and the plasma problem. Bernoulli's free-boundary problem This problem arises in electrostatics, fluid dynamics, optimal insulation, and electro chemistry. In electrostatic terms the task is to design an annular con­ denser consisting of a prescribed conducting surface 80. and an unknown conduc­ tor A such that the electric field 'Vu is constant in magnitude on the surface 8A of the second conductor (Figure 1.1). This leads to the following free-boundary problem for the electric potential u. -~u 0 in 0. \A, u 0 on 80., u 1 on 8A, 8u Q on 8A. 811 The unknowns are the free boundary 8A and the potential u. In optimal in­ sulation problems the domain 0. \ A represents the insulation layer. Given the exterior boundary 80. the problem is to design an insulating layer 0. \ A of given volume which minimizes the heat or current leakage from A to the environment ]R.n \ n. The heat leakage per unit time is the capacity of the set A with respect to n. Thus we seek to minimize the capacity among all sets A c 0. of equal volume.