Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic Analysis

این کتاب مقدمه ای در دسترس برای نظریه فضاهای متغیر Lebesgue ارائه می دهد. این فضاها با جایگزین کردن شار ثابت p با یک توان متغیر p(x)، فضاهای کلاسیک Lebesgue را تعمیم می دهند. آنها در اوایل دهه 1930 معرفی شدند، اما از اوایل دهه 1990 به دلیل ارتباط آنها با محاسبات تغییرات و معادلات دیفرانسیل جزئی با شرایط رشد غیراستاندارد، و به دلیل کاربرد آنها در مسائل فیزیک و پردازش تصویر، کانون توجه مجدد قرار گرفتند.

این کتاب با توسعه ویژگی‌های فضای تابع پایه آغاز می‌شود. از رویکرد تحلیل عملکردی و انتزاعی‌تر اجتناب می‌کند، در عوض بر رویکرد عملی تأکید می‌کند که شباهت‌ها و تفاوت‌های بین فضای متغیر و کلاسیک Lebesgue را روشن می‌کند. فصل های بعدی به تحلیل هارمونیک در فضاهای متغیر Lebesgue اختصاص داده شده است. نظریه عملگر حداکثر هاردی-لیتل وود به طور کامل توسعه یافته است و ارتباطات بین فضاهای Lebesgue متغیر و نابرابری های هنجار وزنی معرفی شده است. سایر عملگرهای مهم در تجزیه و تحلیل هارمونیک - انتگرال های منفرد، پتانسیل های Riesz، و هویت های تقریبی - با استفاده از تعمیم قدرتمند نظریه برون یابی روبیو دو فرانسیا از نظریه نابرابری های هنجار وزنی درمان می شوند. فصل آخر نتایج فصل‌های قبلی را برای اثبات نتایج اولیه در مورد فضاهای متغیر سوبولف به کار می‌برد.

This book provides an accessible introduction to the theory of variable Lebesgue spaces. These spaces generalize the classical Lebesgue spaces by replacing the constant exponent p with a variable exponent p(x). They were introduced in the early 1930s but have become the focus of renewed interest since the early 1990s because of their connection with the calculus of variations and partial differential equations with nonstandard growth conditions, and for their applications to problems in physics and image processing.

The book begins with the development of the basic function space properties. It avoids a more abstract, functional analysis approach, instead emphasizing an hands-on approach that makes clear the similarities and differences between the variable and classical Lebesgue spaces. The subsequent chapters are devoted to harmonic analysis on variable Lebesgue spaces. The theory of the Hardy-Littlewood maximal operator is completely developed, and the connections between variable Lebesgue spaces and the weighted norm inequalities are introduced. The other important operators in harmonic analysis - singular integrals, Riesz potentials, and approximate identities - are treated using a powerful generalization of the Rubio de Francia theory of extrapolation from the theory of weighted norm inequalities. The final chapter applies the results from previous chapters to prove basic results about variable Sobolev spaces.​