Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry

\"حدس Kneser" - که توسط Martin Kneser در سال 1955 در Jahresbericht der DMV مطرح شد - یک مشکل بی‌گناه در مورد تقسیم‌بندی k زیر مجموعه‌های یک n-مجموعه به زیرخانواده‌های متقاطع است. راه حل قابل توجه آن توسط L. Lovász استفاده غیرمنتظره ای از قضیه Borsuk-Ulam، یعنی یک نتیجه توپولوژیکی واقعی در مورد نقشه های پادپایی پیوسته کره ها را نشان داد. کتاب درسی کمی اکنون نشان می‌دهد که بینش لوواس و همچنین کارهای زیبای بسیاری دیگر (مانند Vrecica و Zivaljevic و Sarkaria) حوزه‌ای هیجان‌انگیز از ریاضیات را گشوده است که ترکیبیات، نظریه گراف، توپولوژی جبری و هندسه گسسته را به هم متصل می‌کند. یک ترفند مبتکرانه در سال 1978 اکنون خود را به عنوان نمونه ای از "پارادایم مجموعه آزمایشی" نشان می دهد: ایجاد فضاهای پیکربندی برای مسائل ترکیبی به گونه ای که رنگ آمیزی، بروز یا مشکلات عرضی ممکن است به (عدم)وجود نقشه های معادل مناسب ترجمه شوند.

شرح واضح این منطقه و پیامدهای آن توسط Matousek یک گزارش هیجان انگیز و منسجم از این منطقه از ترکیبات توپولوژیکی است. دارای مجموعه ای از جواهرات ریاضی است که با دید وسیعی از موضوع و همچنان با مراقبت عاشقانه برای جزئیات نوشته شده است. خواندن توصیه می شود! [...]\"

Günter M.Ziegler (برلین)
Zbl. MATH جلد 1060 تعداد تولیدات: 05001

"The "Kneser conjecture" -- posed by Martin Kneser in 1955 in the Jahresbericht der DMV -- is an innocent-looking problem about partitioning the k-subsets of an n-set into intersecting subfamilies. Its striking solution by L. Lovász featured an unexpected use of the Borsuk-Ulam theorem, that is, of a genuinely topological result about continuous antipodal maps of spheres.

Matousek's lively little textbook now shows that Lovász' insight as well as beautiful work of many others (such as Vrecica and Zivaljevic, and Sarkaria) have opened up an exciting area of mathematics that connects combinatorics, graph theory, algebraic topology and discrete geometry. What seemed like an ingenious trick in 1978 now presents itself as an instance of the "test set paradigm": to construct configuration spaces for combinatorial problems such that coloring, incidence or transversal problems may be translated into the (non-)existence of suitable equivariant maps.

The vivid account of this area and its ramifications by Matousek is an exciting, a coherent account of this area of topological combinatorics. It features a collection of mathematical gems written with a broad view of the subject and still with loving care for details. Recommended reading! […]"

Günter M.Ziegler (Berlin)
Zbl. MATH Volume 1060 Productions-no.: 05001