Um Curso de Álgebra Linear

Sumário
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . 17
1.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20
1.3 Resolução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . 23
1.4 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45
2.3 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  51
2.4 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Métodos Práticos para Completamento de Base . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . 67
2.6 Somas Diretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . .  71
2.7 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


3. Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 O Núcleo e a Imagem de uma Transformação Linear . . .  . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Matrizes de Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . 94
3.5 O Espaço L(U, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4. Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1 O Espaço Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 O Espaço Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3 Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 Anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5 Transpostas de Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . 127

5. Formas Canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.1 Operadores Diagonalizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2 Subespaços T -invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3 Polinômios Minimais de operadores e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Espaços vetoriais T -ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.5 Operadores Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 Formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6. Espaços com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.3 Subespaço Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.4 A Melhor Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.5 Transformações que Preservam Produtos Internos . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7. Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.1 Funcionais Lineares e Adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . 207
7.2 Autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.3 Operadores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.4 Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8. Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . 231
8.1 Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2 Formas Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.3 Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.4 Reconhecimento de Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Sobre os Autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263