Über das lokale Verhalten von Lösungen linearer elliptischer partieller Differentialgleichungssysteme in der Nähe isolierter Singularitäten

در این پایان نامه، رفتار محلی راه حل های سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی و بیضوی بررسی می شود. این کار از یک سو برای نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی جالب است، اما از سوی دیگر از دیدگاه تئوری تابع نیز جالب است، زیرا ممکن است اطلاعاتی در مورد اینکه کدام قضایا در نظریه توابع ماهیت صرفاً نظری تابعی دارند ارائه می دهد. و مربوط به راه حل های کلاس های معینی از سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی است که ساختاری شبیه به سیستم کوشی-ریمان دارند. مطالعه رفتار محلی توابع هولومورفیک در مجاورت تکینگی های جدا شده، فضای بزرگی را در نظریه تابع اشغال می کند. مهم ترین نتیجه این است که یک تابع هولومورفیک در یک دیسک سوراخ شده می تواند در آنجا به یک سری Laurent گسترش یابد. به منظور به دست آوردن بسط های سری مشابه برای حل سیستم های بیضوی معادلات دیفرانسیل، نتایج به دست آمده توسط WACHMAN (به کتابشناسی مراجعه کنید) به سیستم های همگن و بیضوی با ضرایب ثابت منتقل می شود. اول از همه، تعمیم نتایج استفاده شده توسط WACHMAN از کار OHN در مورد وجود راه حل های اساسی و شکل آن ها در سیستم های بیضوی مورد نیاز است که در قسمت اول کار آورده شده است. شواهد این امر اساساً به آثار ذکر شده توسط OHN و WACHMAN باز می گردد. آنها در اینجا به سیستم ها منتقل می شوند و همچنین با جزئیات بیشتر توضیح داده می شوند.

In dieser Arbeit soll das lokale Verhalten von Lösungen elliptischer, partieller Dif­ ferentialgleichungssysteme untersucht werden. Diese Aufgabe ist einerseits für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen interessant, zum anderen aber auch vom funktionentheoretischen Standpunkt aus, denn sie kann eventuell Aufschluß darüber geben, welche Sätze in der Funktionentheorie rein funktionentheoretischer Natur sind, und welche sich auf Lösungen gewisser Klassen von partiellen Differentialgleichungs­ systemen, die eine ähnliche Struktur besitzen wie das Cauchy-Riemannsche System, übertragen lassen. Einen weiten Raum nimmt in der Funktionentheorie das Studium des lokalen Ver­ haltens von holomorphen Funktionen in der Umgebung isolierter Singularitäten ein. Als wichtigstes Resultat ergibt sich, daß eine in einer punktierten Kreisscheibe holo­ morphe Funktion dort in eine Laurent-Reihe entwickelt werden kann. Um ähnliche Reihenentwicklungen für Lösungen elliptischer Differentialgleichungssysteme zu er­ halten, werden die von WACHMAN gewonnenen Ergebnisse (s. Literaturverzeichnis) auf homogene, elliptische Systeme mit konstanten Koeffizienten übertragen. Dazu ist zunächst eine Verallgemeinerung der von WACHMAN benutzten Resultate aus einer Arbeit von lOHN über die Existenz von Fundamentallösungen und die Gestalt von solchen auf elliptische Systeme erforderlich, die im ersten Teil der Arbeit gebracht wird. Die Beweise dazu gehen im wesentlichen auf die zitierten Arbeiten von lOHN und WACHMAN zurück. Sie werden hier auf Systeme übertragen und im einzelnen auch näher ausgeführt.