Tubes

در ژوئیه 1998، ایمیلی از آلفرد گری دریافت کردم که به من می گفت: \"... من در بیلبائو هستم و روی چاپ دوم Tubes کار می کنم ... به طور آزمایشی ویژگی های جدید کتاب عبارتند از: 1. پاورقی حاوی اطلاعات بیوگرافی و پرتره 2. فصل جدید در قضایای ارزش میانگین 3. پیوست جدید در رسم لوله ها \" سپتامبر آن سال او یک هفته را در والنسیا گذراند و در کارگاهی در مورد هندسه دیفرانسیل و کاربردهای آن شرکت کرد. در اینجا او یک نسخه از آخرین نسخه Tubes را به من داد. می توان آن را نسخه نهایی در نظر گرفت. تنها یک نکته وجود داشت که فکر می‌کردیم باید دوباره مورد توجه قرار گیرد، یعنی تکمیل احتمالی مواد در بخش 8. 8 در مورد قضایای مقایسه سطوح با نتایج شناخته شده اکنون در ابعاد دلخواه. اما تنها یک ماه بعد خبر غم انگیز و تکان دهنده از بیلبائو رسید: آلفرد درگذشت. متعاقباً وظیفه آماده کردن ویرایش نهایی کتاب برای ناشران را بر عهده گرفتم، هرچند برخی شرایط خاص مانع از آن شد که کار را زودتر به پایان برسانم. این کتاب اساساً همانطور که آلرد گری آن را در سپتامبر 1998 ترک کرد ظاهر می شود. تنها تغییراتی که من انجام دادم اضافه کردن بخش 8. 9 (نماینده بحثی است که داشتیم)، گنجاندن برخی از نتایج جدید در مورد فضاهای هارمونیک، ساختار Hopf ابرسطح ها در فضاهای پرتابی پیچیده و حدس و گمان در مورد حجم توپ های ژئودزیکی.

In July 1998, I received an e-mail from Alfred Gray, telling me: " . . . I am in Bilbao and working on the second edition of Tubes . . . Tentatively, the new features of the book are: 1. Footnotes containing biographical information and portraits 2. A new chapter on mean-value theorems 3. A new appendix on plotting tubes " That September he spent a week in Valencia, participating in a workshop on Differential Geometry and its Applications. Here he gave me a copy of the last version of Tubes. It could be considered a final version. There was only one point that we thought needed to be considered again, namely the possible completion of the material in Section 8. 8 on comparison theorems of surfaces with the now well-known results in arbitrary dimensions. But only one month later the sad and shocking news arrived from Bilbao: Alfred had passed away. I was subsequently charged with the task of preparing the final revision of the book for the publishers, although some special circumstances prevented me from finishing the task earlier. The book appears essentially as Alred Gray left it in September 1998. The only changes I carried out were the addition of Section 8. 9 (representing the discus­ sion we had), the inclusion of some new results on harmonic spaces, the structure of Hopf hypersurfaces in complex projective spaces and the conjecture about the volume of geodesic balls.