Truly Nonlinear Oscillations: Harmonic Balance, Parameter Expansions, Iteration, and Averaging Methods

Contents......Page 12
Preface......Page 8
List of Figures......Page 20
List of Tables......Page 22
1.1 Truly Nonlinear Functions......Page 24
1.2 Truly Nonlinear Oscillators......Page 25
1.3 General Remarks......Page 26
1.4.1 Linear Damped Oscillator......Page 28
1.4.2 Nonlinear Oscillator......Page 29
1.4.3 ¨x + axp = 0......Page 30
1.4.4 ¨x + ax + bx1/3 = 0......Page 31
1.5 Exactly Solvable TNL Oscillators......Page 32
1.5.1 Antisymmetric, Constant Force Oscillator......Page 33
1.5.2 Particle-in-a-Box......Page 34
1.5.3 Restricted Duffing Equation......Page 35
1.6 Overview of TNL Oscillator Methods......Page 37
1.6.2 Parameter Expansion......Page 39
1.6.3 Averaging Methods......Page 40
1.7 Discussion......Page 41
Problems......Page 43
References......Page 44
2.1 Phase-Space......Page 46
2.1.2 Fixed-Points......Page 47
2.1.4 Null-clines......Page 48
2.1.7 First-Integrals......Page 49
2.2.1 Linear Harmonic Oscillator......Page 50
2.2.2 Several TNL Oscillator Equations......Page 54
2.3 Dissipative Systems: Energy Methods......Page 56
2.3.2 Damped TNL Oscillator......Page 58
2.3.3 Mixed-Damped TNL Oscillator......Page 59
Problems......Page 62
References......Page 63
3. Harmonic Balance......Page 66
3.1 Direct Harmonic Balance: Methodology......Page 67
3.2 Worked Examples......Page 69
3.2.1 ¨x + x3 = 0......Page 70
3.2.2 ¨x + x-1 = 0......Page 72
3.2.3 ¨x + x2sgn(x) = 0......Page 74
3.2.4 ¨x + x1/3 = 0......Page 77
3.2.5 ¨x + x-1/3 = 0......Page 80
3.3 Rational Approximations......Page 84
3.3.2 Properties of ak......Page 85
3.4.1 ¨x + x3 = 0......Page 86
3.4.2 ¨x + x2sgn(x) = 0......Page 88
3.4.3 ¨x + x-1 = 0......Page 89
3.5 Third-Order Equations......Page 90
3.5.1 Castor Model......Page 91
3.5.2 TNL Castor Models......Page 92
3.6.2 Disadvantages......Page 93
Problems......Page 94
References......Page 95
4.1 Introduction......Page 98
4.2.1 ¨x + x3 = 0......Page 99
4.2.2 ¨x + x-1 = 0......Page 101
4.2.3 ¨x + x3/(1 + x2) = 0......Page 103
4.2.4 ¨x + x1/3 = 0......Page 104
4.2.5 ¨x + x3 = o(1 - x2) x......Page 107
4.2.6 ¨x + sgn(x) = 0......Page 108
4.3 Discussion......Page 109
Problems......Page 110
References......Page 111
5.1.1 Direct Iteration......Page 112
5.1.2 Extended Iteration......Page 114
5.2.1 ˙ x + x3 = 0......Page 115
5.2.2 ¨x + x3/(1 + x2) = 0......Page 120
5.2.3 ¨x + x-1 = 0......Page 123
5.2.4 ¨x + sgn(x) = 0......Page 126
5.2.5 ¨x + x1/3 = 0......Page 128
5.2.6 ¨x + x-1/3 = 0......Page 131
5.2.7 ¨x + x + x1/3 = 0......Page 133
5.3 Worked Examples: Extended Iteration......Page 135
5.3.1 ¨x + x3 = 0......Page 136
5.3.2 ¨x + x-1 = 0......Page 138
5.4 Discussion......Page 140
5.4.1 Advantages of Iteration Methods......Page 141
5.4.2 Disadvantages of Iteration Methods......Page 142
Problems......Page 143
References......Page 144
6. Averaging Methods......Page 146
6.1.1 Mickens-Oyedeji Procedure......Page 147
6.1.2 Combined Linearization and Averaging Method......Page 149
6.2.1 ¨x + x3 = -2   x......Page 152
6.2.2 ¨x + x3 = - x3......Page 154
6.2.3 ¨x + x3 = (1 - x2) x......Page 155
6.2.4 ¨x + x1/3 = 2 x......Page 156
6.2.5 ¨x + x1/3 = (1 x2) x......Page 157
6.2.6 ¨x + x = 2(  x)1/3......Page 158
6.2.7 General Comments......Page 160
6.3 Cveticanin’s Averaging Method......Page 161
6.3.1 Exact Period......Page 162
6.3.2 Averaging Method......Page 163
6.4.1 ¨x + α.1 = 2 x......Page 165
6.4.2 ¨x + α1 = 2( ˙ x)3......Page 167
6.4.3 ¨x + α.1 = (1 x2) x......Page 168
6.5 Chronology of Averaging Methods......Page 170
6.6 Comments......Page 172
Problems......Page 174
References......Page 175
7.1 Purpose......Page 178
7.2.1 Harmonic Balance......Page 179
7.2.3 Iteration......Page 181
7.2.4 Comments......Page 182
7.3.1 Harmonic Balance......Page 183
7.3.2 Parameter Expansion......Page 184
7.3.4 Comment......Page 185
7.4.1 Mickens-Oyedeji......Page 186
7.4.2 Combined-Linearization-Averaging......Page 188
7.4.3 Cveticanin’s Method......Page 189
7.5.1 Combined-Linearization-Averaging......Page 190
7.5.2 Cveticanin’s Method......Page 191
7.6.1 Mickens-Oyedeji......Page 193
7.6.2 Cveticanin’s Method......Page 194
7.6.3 Discussion......Page 195
7.8 General Comments and Calculation Strategies......Page 198
7.8.1 General Comments......Page 199
7.8.2 Calculation Strategies......Page 200
7.9 Research Problems......Page 202
References......Page 204
A.1.3 Powers of Trigonometric Functions......Page 206
A.1.4 Other Trigonometric Relations......Page 207
A.1.5 Derivatives and Integrals of Trigonometric Functions......Page 208
A.2 Factors and Expansions......Page 209
A.4 Cubic Equations......Page 210
A.6 Eigenvalues of a 2 × 2 Matrix......Page 211
References......Page 212
B.2 The Beta Function......Page 214
B.3 Two Useful Integrals......Page 215
C.1 Definition of Fourier Series......Page 216
C.2.2 Convergence Theorem......Page 217
C.4 Expansion of F(a cos x,-a sin x) in a Fourier Series......Page 218
C.5 Fourier Series for (cos θ)α and (sin θ)α......Page 219
References......Page 221
D.1 Introduction......Page 222
D.3 Dependence of the Solution on Initial Conditions......Page 223
D.4 Dependence of the Solution on a Parameter......Page 224
References......Page 225
E.2 Homogeneous Linear Differential Equations......Page 226
E.2.3 Theorems on Linear Second-Order Homogeneous Differential Equations......Page 227
E.3 Inhomogeneous Linear Differential Equations......Page 228
E.3.1 Principle of Superposition......Page 229
E.4 Linear Second-Order Homogeneous Differential Equations with Constant Coefficients......Page 230
E.5 Linear Second-Order Inhomogeneous Differential Equations with Constant Coefficients......Page 231
E.6 Secular Terms......Page 233
References......Page 234
Appendix F Lindstedt-Poincar´e Perturbation Method......Page 236
References......Page 239
Appendix G A Standard Averaging Method......Page 240
References......Page 243
H.1 NSFD Rules......Page 244
H.2 Discrete Energy Function......Page 245
H.3 Cube-Root Equation......Page 246
H.4 Cube-Root/van der Pol Equation......Page 248
References......Page 249
Bibliography......Page 250
Index......Page 260