Triangular Products of Group Representations and Their Applications

ساختار در نظر گرفته شده در این یادداشت ها بر اساس یک ایده بسیار ساده است. فرض کنید (A, G ) و (B, G ) دو نمایش گروهی برای قطعیت وفادار و متناهی 1 2 بعدی در یک میدان دلخواه باشند. اگر یک زیرماژول G از V وجود داشته باشد به گونه‌ای که 1 2 بازنمایی‌های طبیعی (W, G) وجود داشته باشد، یک نمایش وفادار (V, G) پسوند (A, G) توسط (B, G) است. و (V/W، G) هم شکل هستند، به ترتیب هسته آنها را به (A، G) و (B، G) مدول می کنند. 1 2 سوال. در میان تمام پسوندهای (A, G ) توسط (B, G)، آیا 1 2 چنین پسوند \"جهانی\" وجود دارد که شامل یک کپی هم شکل از هر یک دیگر باشد؟ پاسخ مثبت است. در واقع، کم رنگ A = m و کم نور B = n را در نظر بگیرید، سپس گروه های G و G را می توان به ترتیب به عنوان گروه های ماتریسی با درجه m و n 1 2 در نظر گرفت. اگر (V, G) بسط (A, G) توسط (B, G) باشد، در این صورت، تحت انتخاب 1 2 خاصی از یک مبنای در V، همه عناصر G با (m + n) x (m + نمایش داده می شوند. ن) برنج های حصیری به شکل (*) ~1-~ ~-J lh I g2 I .

The construction considered in these notes is based on a very simple idea. Let (A, G ) and (B, G ) be two group representations, for definiteness faithful and finite­ 1 2 dimensional, over an arbitrary field. We shall say that a faithful representation (V, G) is an extension of (A, G ) by (B, G ) if there is a G-submodule W of V such that 1 2 the naturally arising representations (W, G) and (V/W, G) are isomorphic, modulo their kernels, to (A, G ) and (B, G ) respectively. 1 2 Question. Among all the extensions of (A, G ) by (B, G ), does there exist 1 2 such a "universal" extension which contains an isomorphic copy of any other one? The answer is in the affirmative. Really, let dim A = m and dim B = n, then the groups G and G may be considered as matrix groups of degrees m and n 1 2 respectively. If (V, G) is an extension of (A, G ) by (B, G ) then, under certain 1 2 choice of a basis in V, all elements of G are represented by (m + n) x (m + n) mat­ rices of the form (*) ~1-~ ~-J lh I g2 I .