Toute l'algebre de la licence: Cours et exercices corriges

Table des matières......Page 4
AVANT-PROPOS......Page 12
PREMIÈRE ANNÉE......Page 14
1.1 Sommes et produits de fonctions......Page 16
1.3 Résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants......Page 19
1.5 Solutions des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre......Page 22
1.6 Résultats pour les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants avec second membre......Page 23
Exercices......Page 25
Solutions......Page 26
2.1 Sommes et produits de suites......Page 30
2.2 Suites satisfaisant une relation de récurrence linéaire......Page 31
2.3 Suites satisfaisant un+au(n-1)+bu(n-2)=0......Page 32
2.4 Un peu d\'histoire......Page 34
2.5 Étude de la suite de Fibonacci......Page 35
Exercices......Page 36
Solutions......Page 37
3.1 Introduction de la géométrie à n dimensions......Page 40
3.3 Définition de R^n......Page 44
3.4 Combinaisons linéaires et espace engendré......Page 45
3.5 Base canonique de R^n......Page 48
3.6 Familles triangulaires et échelonnées......Page 49
3.7 La droite vectorielle R......Page 50
3.8 Espaces engendrés dans R^2......Page 51
3.9 Espaces engendrés dans R^3......Page 54
3.10 Algorithme du pivot de Gauss dans R^n......Page 56
Exercices......Page 59
Solutions......Page 61
4.1 Histoire ancienne......Page 68
4.2 Leibniz, Cramer, Gauss......Page 70
4.4 Exemples de résolution......Page 71
4.5 Systèmes équivalents......Page 73
4.6 Systèmes triangulaires et échelonnés......Page 74
4.7 Méthode du pivot de Gauss......Page 75
4.8 Exemples......Page 79
4.9 Systèmes avec paramètres......Page 81
4.10 Problèmes actuels......Page 82
Exercices......Page 84
Solutions......Page 86
5.1 Introduction......Page 88
5.2 Un peu d\'histoire......Page 89
5.3 Structure de R-espace vectoriel......Page 90
5.4 Exemples fondamentaux......Page 92
5.5 Précisions sur les corps......Page 93
5.6 Sous-espaces vectoriels......Page 94
5.7 Exemples de sous-espaces vectoriels......Page 95
5.8 Combinaisons linéaires et espace engendré......Page 96
5.9 Somme de sous-espaces......Page 98
Exercices......Page 99
Solutions......Page 101
6.2 Famille génératrice......Page 104
6.3 Famille libre......Page 105
6.4 Base d\'un espace vectoriel......Page 107
6.5 Dimension......Page 109
6.6 Exemples de bases......Page 111
6.7 Retour au rang......Page 113
Exercices......Page 114
Solutions......Page 119
7.1 Naissance du concept......Page 126
7.2 Applications linéaires......Page 127
7.3 Exemples......Page 128
7.4 Propriété universelle......Page 131
7.5 Noyau d\'une application linéaire......Page 132
7.6 Image d\'une application linéaire......Page 133
7.8 Résolution d\'une équation linéaire......Page 135
7.9 Résolution d\'un système linéaire......Page 136
7.10 Isomorphismes......Page 138
Exercices......Page 140
Solutions......Page 144
8.1 Matrice d\'une application linéaire......Page 148
8.2 Matrices et applications linéaires......Page 151
8.3 Un peu d\'histoire......Page 152
8.4 Matrices particulières......Page 154
8.5 Exemples......Page 156
8.6 Matrice de la composée......Page 157
8.7 Propriétés du produit......Page 160
8.8 Calcul de l\'inverse d\'une matrice......Page 161
8.9 Changement de base......Page 164
8.10 Rang et trace......Page 169
8.11 Calculs avec Maple......Page 170
Exercices......Page 171
Solutions......Page 175
9.1 Exemples......Page 180
9.2 Décomposition en somme directe......Page 181
9.3 Sommes directes finies......Page 182
9.4 Produit de deux espaces vectoriels......Page 183
9.5 Projecteurs......Page 186
9.6 Espaces vectoriels quotients......Page 187
Exercices......Page 190
Solutions......Page 192
10.1 Introduction......Page 196
10.2 Formes linéaires et hyperplans......Page 197
10.3 Baseduale......Page 199
10.4 Orthogonal d\'un sous-espace......Page 200
10.5 Transposée d\'une application linéaire......Page 202
Exercices......Page 204
Solutions......Page 206
DEUXIÈME ANNÉE......Page 210
11.1 Introduction......Page 212
11.2 Généralités......Page 213
11.3 Exemples......Page 215
11.4 Sous-groupes......Page 216
11.5 Homomorphismes de groupes......Page 218
11.6 Étude des groupes de permutation......Page 220
11.7 Signature d\'une permutation......Page 223
11.8 Groupe linéaire......Page 225
11.9 Centre du groupe linéaire......Page 226
11.10 Générateurs du groupe linéaire......Page 227
Exercices......Page 228
Solutions......Page 230
12.2 Division euclidienne dans Z......Page 234
12.3 Congruence modulo n, définition de Z/nZ......Page 235
12.4 Addition et multiplication dans Z/nZ......Page 237
12.5 Structures d\'anneau commutatif unitaire et de corps......Page 238
12.6 Homomorphismes d\'anneaux......Page 240
12.7 Utilisations des congruences......Page 241
12.9 Idéal......Page 242
12.10 Sous-groupes, idéaux de Z......Page 243
12.11 Divisibilité, nombres premiers......Page 244
12.12 Pgcd, ppcm, nombres premiers entre eux......Page 245
12.13 Les corps Z/pZ......Page 249
Exercices......Page 251
Solutions......Page 254
13.1 Introduction......Page 260
13.2 Polynômes sur un corps K......Page 261
13.3 Degré, division euclidienne......Page 263
13.4 Pgcd de polynômes......Page 265
13.5 Racines d\'un polynôme......Page 267
13.6 Dérivation......Page 269
13.7 Éléments irréductibles......Page 272
13.8 La structure de K-algèbre de K[X]......Page 273
Exercices......Page 275
Solutions......Page 278
14.1 Introduction historique......Page 284
14.2 Calcul des déterminants : méthode de Bézout......Page 289
14.3 Le caractère alterné......Page 291
14.4 Multilinéarité......Page 293
14.5 Formules et calculs......Page 296
14.6 Déterminant d\'un endomorphisme......Page 299
14.7 Déterminant d\'une matrice carrée......Page 301
14.8 Retour sur le rang......Page 303
14.9 Déterminant et volume......Page 304
14.10 Déterminant et orientation......Page 306
Exercices......Page 307
Solutions......Page 310
15.1 Introduction......Page 314
15.2 Étude du problème......Page 315
15.3 Définitions......Page 316
15.4 Exemple......Page 317
15.5 Condition suffisante de diagonalisabilité......Page 318
15.6 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité......Page 319
15.7 Changement de corps de base......Page 323
15.8 Seconde condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité......Page 324
15.9 Triangularisation......Page 326
15.10 Théorème de Hamilton-Cayley......Page 328
15.11 Quelques applications......Page 329
Exercices......Page 334
Solutions......Page 336
16.2 Orthogonalité dans le plan et l\'espace ordinaires......Page 342
16.3 Produit scalaire......Page 345
16.4 Expression du produit scalaire......Page 346
16.5 Norme et angle......Page 349
16.6 Bases orthogonales et orthonormées......Page 352
16.7 Orthogonalité de sous-espaces......Page 355
16.8 Projection orthogonale......Page 357
16.9 Transformations orthogonales......Page 361
16.10 Groupe orthogonal de R^2......Page 364
16.11 Groupe orthogonal de R^3......Page 366
16.12 Endomorphisme adjoint et autoadjoint......Page 369
16.13 Polynômes orthogonaux : exemple des polynômes de Legendre......Page 372
Exercices......Page 380
Solutions......Page 384
CHAPITRE 17 CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)......Page 392
TROISIÈME ANNÉE......Page 410
CHAPITRE 18 OUVERTURES SUR LES GROUPES......Page 412
18.1 Relation d\'équivalence sur un ensemble......Page 413
18.2 Notion de sous-groupe distingué......Page 416
18.3 Groupe quotient......Page 419
18.4 Correspondance entre sous-groupes d\'un groupe et sous-groupes d\'un de ses quotients......Page 422
18.5 Produits de groupes......Page 424
18.6 Groupes monogènes et groupes cycliques......Page 429
18.7 Action d\'un groupe sur un ensemble......Page 430
Exercices......Page 435
Solutions......Page 442
19.1 Sous-anneau, extension de corps......Page 458
19.2 Caractéristique......Page 461
19.3 Quotient d\'un anneau par un idéal......Page 462
19.4 Exemples de quotients......Page 464
19.5 Correspondance entre idéaux d\'un anneau et idéaux d\'un de ses quotients......Page 468
19.6 Produits d\'anneaux......Page 469
19.7 Opérations sur les idéaux......Page 471
19.8 Théorème chinois......Page 472
19.9 Éléments inversibles......Page 476
19.10 Divisibilité dans les anneaux intègres......Page 478
19.11 Idéaux premiers et maximaux......Page 481
19.12 Anneaux euclidiens......Page 484
19.13 Anneaux factoriels......Page 485
19.14 Théorème de Fermat pour n=3......Page 489
19.15 Corps des fractions d\'un anneau intègre......Page 493
Exercices......Page 497
Solutions......Page 502
20.1 La A-algèbre A[X]......Page 514
20.2 Corps de rupture et de décomposition......Page 518
20.3 Si A factoriel, alors A[X] factoriel......Page 520
20.4 Recherche des facteurs irréductibles d\'un polynôme......Page 522
20.5 Décomposition en éléments simples dans C(X) et R(X)......Page 523
20.6 Méthodes pour prouver l\'irréductibilité d\'un polynôme de Z[X], de Q[X]......Page 527
20.7 Localisation des racines d\'un polynôme de R[X]......Page 529
20.8 Polynômes à plusieurs indéterminées......Page 533
20.9 Polynômes symétriques......Page 535
20.10 Fractions continues......Page 541
20.11 Géométrie algébrique......Page 550
Exercices......Page 552
Solutions......Page 559
21.1 Corps finis : généralités......Page 574
21.2 Existence et unicité des corps finis......Page 577
21.3 Loi de réciprocité quadratique......Page 580
21.4 Factorisation dans Z[i], théorème des deux carrés......Page 584
21.5 Algorithme de Berlekamp......Page 585
21.6 Histoire de la cryptographie......Page 589
21.7 Logarithme discret......Page 592
21.8 La méthode RSA......Page 593
21.9 Grands nombres premiers......Page 596
21.10 Factorisation......Page 597
Exercices......Page 600
Solutions......Page 606
22.1 Compléments sur le groupe orthogonal d\'un espace euclidien......Page 616
22.2 Formes bilinéaires et bilinéaires symétriques......Page 623
22.3 Formes quadratiques......Page 627
22.4 Méthode de Gauss pour la décomposition en carrés......Page 629
22.5 Décomposition d\'une forme quadratique sur C ou R......Page 632
22.6 Diagonalisation simultanée de deux formes quadratiques......Page 634
22.7 Orthogonalité......Page 636
22.8 Espaces quadratiques réguliers......Page 637
22.9 Groupe orthogonal d\'un espace quadratique régulier......Page 641
22.10 Quaternions......Page 644
22.11 Recherches arithmétiques de Lagrange......Page 649
Exercices......Page 655
Solutions......Page 661
BIBLIOGRAPHIE......Page 676
INDEX......Page 680