Totally Convex Functions for Fixed Points Computation and Infinite Dimensional Optimization

هدف این کار ارائه در یک رویکرد یکپارچه مجموعه‌ای از نتایج در مورد توابع کاملا محدب در فضاهای Banach و کاربردهای آنها برای ساخت الگوریتم‌های تکراری برای محاسبه نقاط ثابت مشترک خانواده‌های عملگرها و روش‌های بهینه‌سازی در ابعاد بی‌نهایت است. تنظیمات داخلی مفهوم تابع کاملا محدب برای اولین بار توسط بوتناریو، سانسور و رایش [31] در زمینه فضای lRR مورد مطالعه قرار گرفت، زیرا این مفهوم برای ایجاد همگرایی یک روش برآمدگی برگمن برای یافتن نقاط مشترک خانواده های نامتناهی مجموعه های محدب بسته است. در این محیط با ابعاد محدود، تحدب کل به سختی با تحدب شدید متفاوت است. در واقع، تابعی با دامنه بسته در فضای باناخ با ابعاد محدود کاملاً محدب است اگر و فقط اگر کاملاً محدب باشد. ارتباط محدب کل به عنوان یک شکل تقویت شده از تحدب دقیق زمانی آشکار می شود که فضای Banach که تابع بر روی آن تعریف شده است، ابعادی بینهایت داشته باشد. در این مورد، تحدب کل خاصیتی قوی تر از تحدب شدید اما ضعیف تر از تحدب یکنواخت محلی است (به بخش 1.3 زیر مراجعه کنید). مطالعه توابع کاملا محدب در فضاهای بی‌بعد Banach در [33] آغاز شد، جایی که نشان داده شد که آنها ابزارهای مفیدی برای برون‌یابی خواصی هستند که معمولاً متعلق به اپراتورهایی هستند که الزامات انقباضی را برای کلاس‌هایی از اپراتورها که حتی به طور خفیف غیر قابل گسترش نیستند برآورده می‌کنند.

The aim of this work is to present in a unified approach a series of results concerning totally convex functions on Banach spaces and their applications to building iterative algorithms for computing common fixed points of mea­ surable families of operators and optimization methods in infinite dimen­ sional settings. The notion of totally convex function was first studied by Butnariu, Censor and Reich [31] in the context of the space lRR because of its usefulness for establishing convergence of a Bregman projection method for finding common points of infinite families of closed convex sets. In this finite dimensional environment total convexity hardly differs from strict convexity. In fact, a function with closed domain in a finite dimensional Banach space is totally convex if and only if it is strictly convex. The relevancy of total convexity as a strengthened form of strict convexity becomes apparent when the Banach space on which the function is defined is infinite dimensional. In this case, total convexity is a property stronger than strict convexity but weaker than locally uniform convexity (see Section 1.3 below). The study of totally convex functions in infinite dimensional Banach spaces was started in [33] where it was shown that they are useful tools for extrapolating properties commonly known to belong to operators satisfying demanding contractivity requirements to classes of operators which are not even mildly nonexpansive.