Topology, Geometry and Gauge fields: Interactions

این جلد در نظر گرفته شده است تا برنامه‌ای را که در توپولوژی، هندسه و میدان‌های اندازه‌گیری آغاز شده است (اسپرینگر، 2010) برای بررسی روابط متقابل بین فیزیک ذرات و توپولوژی که از مفهوم مشترک آنها ناشی می‌شود، ادامه دهد. میدان سنج متن با خلاصه‌ای از پس‌زمینه هندسی فرض شده برای خواننده (منیفولدها، گروه‌های دروغ، بسته‌ها، اتصالات و غیره) آغاز می‌شود. بحثی طولانی و تا حدودی غیررسمی در مورد تعدادی از اساسی‌ترین نظریه‌های گیج کلاسیک که در فیزیک پدید می‌آیند، از جمله نظریه الکترومغناطیسی کلاسیک و تک قطبی دیراک، معادلات کلاین-گوردون و دیراک و SU(2) یانگ-میلز-هیگز دنبال می‌شود. تئوری. هدف واقعی در اینجا این است که شاهد چیزهایی مانند منیفولدهای فضازمان، ساختارهای اسپینور، هم‌شناسی د رام و کلاس‌های Chern باشیم که به‌خودی خود در فیزیک معنادار پدید می‌آیند. سپس همه اینها به طور دقیق در فصل های باقی مانده توسعه داده می شوند. با تعاریف دقیق در دست، می توان به عنوان مثال، بار مغناطیسی و عدد لحظه را با اعداد Chern دسته هایی که شارژ و اینستن روی آنها زندگی می کنند، کاملاً شناسایی کرد و مانع وجود یک ساختار اسپینور را به شکل کلاس دوم استیفل ویتنی این ویرایش دوم کتاب، در یک ضمیمه، شامل طرح بسیار گسترده‌ای از نظریه گیج سیبرگ-ویتن، شامل بحث مختصری در مورد ریشه‌های آن در فیزیک و پیامدهای آن برای توپولوژی است. برای اینکه خواننده فرصت مکث در مسیر و شرکت در سرگرمی را فراهم کند، 228 تمرین وجود دارد که هر کدام بخشی جدایی ناپذیر از توسعه هستند و هر کدام دقیقاً در نقطه ای قرار دارند که می توان آن را با سود بهینه حل کرد.

بررسی‌های چاپ اول:

«هدف نابر تدریس یک دوره استریل در هندسه و توپولوژی نیست، بلکه این است که ما را قادر می‌سازد تا موضوع را در عمل، از طریق تئوری گیج ببینیم. ” (بررسی SIAM)

"ارائه ... با بحث های مفصل در مورد تفسیرهای فیزیکی اتصالات، انحنای آنها و کلاس های مشخصه غنی شده است. من به خصوص از فصل 2 لذت بردم که در آن بسیاری از مثال های فیزیکی اساسی به طور مفصل به شیوه ای دوستانه برای خواننده مورد بحث قرار می گیرند. هیچ جزئیاتی به تخیل یا تفسیر خواننده سپرده نمی شود. من از منبع دیگری اطلاع ندارم که این مثال‌ها و ایده‌های بسیار مهم در سطحی قابل دسترسی برای مبتدیان ارائه شده باشد.» (بررسی های ریاضی)

This volume is intended to carry on the program, initiated in Topology, Geometry, and Gauge Fields: Foundations (Springer, 2010), of exploring the interrelations between particle physics and topology that arise from their shared notion of a gauge field. The text begins with a synopsis of the geometrical background assumed of the reader (manifolds, Lie groups, bundles, connections, etc.). There follows a lengthy, and somewhat informal discussion of a number of the most basic of the classical gauge theories arising in physics, including classical electromagnetic theory and Dirac monopoles, the Klein-Gordon and Dirac equations and SU(2) Yang-Mills-Higgs theory. The real purpose here is to witness such things as spacetime manifolds, spinor structures, de Rham cohomology, and Chern classes arise of their own accord in meaningful physics. All of these are then developed rigorously in the remaining chapters. With the precise definitions in hand, one can, for example, fully identify magnetic charge and instanton number with the Chern numbers of the bundles on which the charge and instanton live, and uncover the obstruction to the existence of a spinor structure in the form of the second Stiefel-Whitney class. This second edition of the book includes, in an Appendix, a much expanded sketch of Seiberg-Witten gauge theory, including a brief discussion of its origins in physics and its implications for topology. To provide the reader with the opportunity to pause en route and join in the fun, there are 228 exercises, each an integral part of the development and each located at precisely the point at which it can be solved with optimal benefit.

Reviews of first edition:

“Naber’s goal is not to teach a sterile course on geometry and topology, but rather to enable us to see the subject in action, through gauge theory.” (SIAM Review)

“The presentation … is enriched by detailed discussions about the physical interpretations of connections, their curvatures and characteristic classes. I particularly enjoyed Chapter 2 where many fundamental physical examples are discussed at great length in a reader friendly fashion. No detail is left to the reader’s imagination or interpretation. I am not aware of another source where these very important examples and ideas are presented at a level accessible to beginners.” (Mathematical Reviews)