Topologie

Avant-propos......Page 6
Table des matières......Page 7
Notations......Page 9
1 Qu'est-ce qu'une théorie mathématique?......Page 10
2 La théorie des ensembles......Page 13
3 Groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels......Page 20
4 Exercices......Page 22
5 Solutions......Page 23
1 Un cas particulier : les espaces métriques......Page 26
2 Espaces topologiques; propriétés élémentaires......Page 31
3 Applications continues......Page 35
4 Exercices......Page 37
5 Solutions......Page 41
1 Comparaison de topologies......Page 50
2 Sous-espaces topologiques......Page 51
3 Espaces topologiques produits......Page 52
4 Espaces topologiques quotients......Page 56
5 Topologies initiales et topologies finales......Page 57
6 Exercices......Page 60
7 Solutions......Page 62
1 Suites dans un espace topologique......Page 67
2 Limite et valeurs d'adhérence d'une application......Page 68
3 Filtres......Page 71
5 Solutions......Page 74
1 La compacité : définition et propriétés élémentaires......Page 77
2 Espaces compacts et applications continues......Page 78
3 Produits d'espaces compacts......Page 79
4 Espaces localement compacts......Page 81
5 Exercices......Page 82
6 Solutions......Page 83
1 Définition et exemples......Page 87
2 Quelques propriétés des connexes......Page 88
3 Composantes connexes......Page 89
4 La connexité par arcs......Page 90
6 Quelques applications de la connexité......Page 91
7 Exercices......Page 92
8 Solutions......Page 93
1 Topologie des espaces métriques......Page 96
2 Espaces métriques et continuité uniforme......Page 98
3 Suites de Cauchy, espaces complets......Page 100
4 Le théorème du point fixe......Page 104
5 Espaces semi-métriques et espaces uniformes......Page 106
6 Espaces uniformes complets......Page 109
7 Exercices......Page 111
8 Solutions......Page 114
1 La propriété de Baire......Page 120
2 Exemples importants d'espaces de Baire......Page 121
3 Fonctions continues et semi-continues sur un espace de Baire......Page 122
4 Quelques applications......Page 123
5 Exercices......Page 124
6 Solutions......Page 125
1 Convergence simple et convergence uniforme......Page 127
2 Autres structures uniformes sur des espaces d'applications......Page 130
3 Familles équicontinues......Page 131
4 Le théorème de Stone-Weierstrass......Page 135
6 Solutions......Page 139
1 Norme sur un espace vectoriel......Page 141
2 Applications linéaires continues......Page 144
3 Applications multilinéaires continues......Page 150
4 Séries dans un espace vectoriel normé......Page 154
5 Quelques résultats concernant les espaces de Banach......Page 157
6 Exercices......Page 159
7 Solutions......Page 163
1 Formes sesquilinéaires et formes hermitiennes......Page 172
2 Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert......Page 173
4 Les théorèmes de projection......Page 175
5 Dual d'un espace de Hilbert......Page 178
6 Systèmes orthogonaux et bases hilbertiennes......Page 179
7 Exemples d'espaces de Hilbert et de bases hilbertiennes......Page 182
9 Solutions......Page 186
1 Conseils de lecture......Page 188
2 Références......Page 189
Index......Page 190