Topological Crystallography: With a View Towards Discrete Geometric Analysis

گفته می شود که هندسه در یونان باستان از کنجکاوی ریاضیدانان در مورد اشکال کریستال ها سرچشمه گرفته است، که این کنجکاوی در طبقه بندی چند وجهی محدب منظم که در جلد آخر عناصر اقلیدس به آن اشاره شده است به اوج خود می رسد. من>. از آن زمان، هندسه مسیر خاص خود را در پیش گرفته است و مطالعه کریستال ها به استثنای کار کپلر روی دانه های برف، موضوع اصلی ریاضیات نبوده است. تنها در قرن نوزدهم، ریاضیات شروع به ایفای نقش در کریستالوگرافی کرد، زیرا نظریه گروهی در مورفولوژی بلورها به کار گرفته شد.

این تک نگاری از سنت یونانی در جستجوی اشکال زیبا مانند چندوجهی محدب منظم پیروی می کند. هدف اصلی این است که به خواننده منتقل شود که چگونه توپولوژی جبری به طور موثر برای کشف دنیای غنی ساختارهای کریستالی استفاده می شود. تئوری گراف، تئوری همسانی و تئوری نقشه های پوششی برای معرفی مفهوم کریستال توپولوژیکی که به طور انتزاعی، تمام اطلاعات مربوط به اتصال اتم ها را در کریستال حفظ می کند، استفاده می شود. به همین دلیل عنوان کریستالوگرافی توپولوژیک انتخاب شده است.

بلورهای توپولوژیکی را می توان به عنوان "زندگی در جهان منطقی، نه در فضا" توصیف کرد، که منجر به این سوال می شود که چگونه می توان آنها را به صورت "متعارف" در فضا قرار داده یا درک کنید. در اینجا مفهوم تحقق استاندارد بلورهای توپولوژیکی در فضا، از جمله به عنوان نمونه‌های معمولی ساختارهای کریستالی الماس و لونسدالیت ارائه شده است. یک دیدگاه ریاضی از تحقق استاندارد نیز با ارتباط آنها با رفتار مجانبی پیاده روی تصادفی و نقشه های هارمونیک ارائه شده است. علاوه بر این، می توان مشاهده کرد که یک آنالوگ گسسته از هندسه جبری با تحقق های استاندارد مرتبط است.

کاربردهای بحث در این جلد نه تنها شامل شمارش سیستماتیک ساختارهای بلوری، که حوزه ای با علاقه علمی قابل توجه است، می شود. برای چندین سال، بلکه طراحی معماری سازه های سفت و سخت سبک وزن. بنابراین خواننده می تواند توافق نظریه و عمل را ببیند.

Geometry in ancient Greece is said to have originated in the curiosity of mathematicians about the shapes of crystals, with that curiosity culminating in the classification of regular convex polyhedra addressed in the final volume of Euclid’s Elements. Since then, geometry has taken its own path and the study of crystals has not been a central theme in mathematics, with the exception of Kepler’s work on snowflakes. Only in the nineteenth century did mathematics begin to play a role in crystallography as group theory came to be applied to the morphology of crystals.

This monograph follows the Greek tradition in seeking beautiful shapes such as regular convex polyhedra. The primary aim is to convey to the reader how algebraic topology is effectively used to explore the rich world of crystal structures. Graph theory, homology theory, and the theory of covering maps are employed to introduce the notion of the topological crystal which retains, in the abstract, all the information on the connectivity of atoms in the crystal. For that reason the title Topological Crystallography has been chosen.

Topological crystals can be described as “living in the logical world, not in space,” leading to the question of how to place or realize them “canonically” in space. Proposed here is the notion of standard realizations of topological crystals in space, including as typical examples the crystal structures of diamond and lonsdaleite. A mathematical view of the standard realizations is also provided by relating them to asymptotic behaviors of random walks and harmonic maps. Furthermore, it can be seen that a discrete analogue of algebraic geometry is linked to the standard realizations.

Applications of the discussions in this volume include not only a systematic enumeration of crystal structures, an area of considerable scientific interest for many years, but also the architectural design of lightweight rigid structures. The reader therefore can see the agreement of theory and practice.