Topological Complexity of Smooth Random Functions: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XXXIX-2009

این یادداشت‌ها، بر اساس سخنرانی‌های ارائه شده در سنت فلور، مقدمه‌ای آسان برای تک‌نگار نویسندگان اسپرینگر در سال 2007 با عنوان «میدان‌های تصادفی و هندسه» ارائه می‌کنند. اگرچه به اندازه تک نگاری کامل جامع نیستند، اما در عین حال کمتر خسته کننده هستند، در حالی که همچنان مطالب اولیه را پوشش می دهند، معمولاً در سطح شهودی تر و کمتر فنی. آنها همچنین برخی از مطالب جدیدتر مربوط به توپولوژی تصادفی جبری و کاربردهای آماری را پوشش می دهند. یادداشت‌ها شامل مقدمه‌ای بر نظریه کلی میدان‌های تصادفی گاوسی است که به موضوعات کلاسیکی مانند پیوستگی و مرزبندی می‌پردازد. به دنبال بررسی سریع هندسه، هم انتگرال و هم ریمانی، با تأکید بر فرمول های لوله ای، مطالب مورد نیاز برای درک و استفاده از فرمول سینماتیک گاوس، نتیجه اصلی یادداشت ها، در اختیار خواننده قرار می گیرد. پس از آن فصل هایی در مورد استنتاج توپولوژیکی و توپولوژی جبری تصادفی وجود دارد که هر دو کاربردهای نتایج اصلی را ارائه می دهند.

These notes, based on lectures delivered in Saint Flour, provide an easy introduction to the authors’ 2007 Springer monograph “Random Fields and Geometry.” While not as exhaustive as the full monograph, they are also less exhausting, while still covering the basic material, typically at a more intuitive and less technical level. They also cover some more recent material relating to random algebraic topology and statistical applications. The notes include an introduction to the general theory of Gaussian random fields, treating classical topics such as continuity and boundedness. This is followed by a quick review of geometry, both integral and Riemannian, with an emphasis on tube formulae, to provide the reader with the material needed to understand and use the Gaussian kinematic formula, the main result of the notes. This is followed by chapters on topological inference and random algebraic topology, both of which provide applications of the main results.