Topologia das Variedades

1 Variedades Diferenciáveis
1.1 Estrutura de variedade .
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1.2 Aplicações diferenciáveis
 entre variedades
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1.3 Grupos de Lie . . . . . .
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1.4 O Lema de Sard . . . .
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5
5
7
19
23
2 Partição da unidade e aplicações
 31
2.1 Partição da unidade . . . . . . . . .
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 31
2.2 Campos de vetores em variedades . .
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 35
2.3 Métricas Riemannianas . . . . . . .
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 43
2.4 Densidade das funções de classe C ∞
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 49
3 Aplicação Exponencial
 54
3.1 A equação das geodésicas .
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 54
3.2 Vizinhança tubular . . . . .
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 61
3.3 Vizinhanças geodesicamente
 convexas
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 64
3.4 O fluxo geodésico . . . . . .
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 69
4 Variedades com bordo
 73
4.1 Colagem de variedades com bordo . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Soma conexa de variedades . . . . . . . . . . . 82
5 Cálculo em Variedades
 86
5.1 O Teorema de Stokes . . .
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 86
5.1.1 Álgebra exterior .
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 86
5.1.2 Formas diferenciais
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 88
5.1.3 Derivada exterior e
 o
 Teorema de
 Stokes
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 91
CONTEÚDO
5.2
 Cohomologia de de Rham . . . . . .
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 94
5.3
 Campos de vetores como derivações .
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 99
5.4
 A derivada de Lie . . . . . . . . . . .
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 107
5.5
 Teorema de Frobenius . . . . . . . .
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 113
5.6
 Elementos de teoria de Hodge . . . .
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 116
5.7
 Estruturas simpléticas . . . . . . . .
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 118
6 Espaços de recobrimento e Grupo fundamental
 123
6.1 Espaços de recobrimento . . . . . . . . . . . . . .
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 123
6.2 O grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . .
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 130
6.3 Recobrimentos das variedades de dimensão 2 . .
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 142
6.3.1 Geometria hiperbólica . . . . . . . . . . .
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 143
6.3.2 Consequências do teorema . . . . . . . . .
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 151
7 Fibrados
 160
7.1 Fibrados com grupo estrutural . . . . . . . . . . . . . 160
7.2 O Fibrado de jatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 Transversalidade
 187
8.1 A topologia de Whitney em C r (M, N ) . . . . . . . . . 187
8.2 Teoremas de transversalidade . . . . . . . . . . . . . . 205
9 Grau Topológico
 220
9.1 O conceito de grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.2 Índice de singularidade de campos de vetores . . . . . 229
9.3 Número de interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10 Cohomologia de De Rham
 247
10.1 O complexo de De Rham . . . . . . . . . . . . . . .
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 247
10.2 A sequência de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . .
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 250
10.3 Dualidade de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . .
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 260
10.4 Isomorfismo de Thom e a classe de Euler . . . . . . .
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 265
10.5 Uma fórmula de Künneth e o Teorema de Lefschetz .
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 282
10.6 Cohomologia dos grupos de Lie compactos. . . . . .
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 289
10.7 Correntes de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . .
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 297
CONTEÚDO
11 Teoria de Morse
 300
11.1 Funções de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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 300
11.2 Homologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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 307
11.2.1 Homologia relativa . . . . . . . . . . . . . . .
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 315
11.2.2 Subdivisão baricêntrica . . . . . . . . . . . .
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 319
11.2.3 Homologia celular . . . . . . . . . . . . . . .
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 331
11.3 Desigualdades de Morse . . . . . . . . . . . . . . . .
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 345
11.4 Estrutura de CW-complexo e decomposição em asas
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 350
11.5 O teorema de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . .
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 360
12 Cohomologias
 367
12.1 Cohomologia de Feixes . . . . . . . . . .
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 367
12.2 O feixe de orientação de uma variedade
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 385
12.3 O anel de cohomologia . . . . . . . . . .
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 392
12.4 O produto cap e dualidade de Poincaré .
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 405
13 Análise e Geometria em Variedades
 409
13.1 Geometria dos Fibrados e o morfismo de Chern-Weil . 409
13.2 O Laplaciano de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
13.3 A equação de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
A Teorema do Coeficiente Universal
B
 O Teorema de Seifert- van Kampen
444
454
CO grupo fundamental π1 (X, x0 ) e o grupo de homologia
H1 (X, Z).
 461
D Grupos de Homotopia- Teorema de Hurewicz
 465
ı̈¿ 1 ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
2ı̈¿ 12 ndice de sı̈¿ 12 mbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474