Topics in the Mathematical Modelling of Composite Materials

آندری وی. این فعالیت تعدادی از موضوعات مرتبط را گرد هم می آورد، از جمله: (1) استفاده از همگرایی ضعیف به عنوان زبانی دقیق و در عین حال کلی برای بحث در مورد رفتار کلان. (2) علاقه به انواع جدید سوالات، به ویژه "مسئله بسته شدن G"، که تا حد زیادی با استفاده از تئوری کنترل بهینه برای بهینه سازی سازه انگیزه دارد. (3) معرفی روش‌های جدید برای محدود کردن مدول‌های مؤثر، از جمله روشی مبتنی بر "فشردگی متقابل". و (4) شناسایی پیوندهای عمیق بین تجزیه و تحلیل ریزساختارها و حساب چند بعدی تغییرات. این کار پیامدهایی برای بسیاری از مشکلات فیزیکی شامل طراحی بهینه، مواد کامپوزیت و انتقال فاز منسجم دارد. در نتیجه، مورد توجه و حمایت بسیاری از جوامع علمی، از جمله مهندسی، علم مواد، و فیزیک و همچنین ریاضیات قرار گرفته است. در حال حاضر ادبیات گسترده ای در این زمینه وجود دارد. اما به دلایل مختلف، برخی از مقالات بنیادی هرگز به درستی منتشر نشدند و در عوض به عنوان یادداشت های شبیه نگاری شده یا پیش چاپ منتشر شدند. آثار دیگر در مجلدات مقالات کنفرانس با توزیع ضعیف ظاهر شد. آثار دیگری نیز در کتب یا مجلات استاندارد منتشر شد، اما به زبان روسی یا فرانسوی نوشته شد. اثر خالص نوعی \"شکاف\" در ادبیات است که نفوذ موضوع را برای افراد تازه وارد به طور غیر ضروری دشوار کرده است.

Andrej V. Cherkaev and Robert V. Kohn In the past twenty years we have witnessed a renaissance of theoretical work on the macroscopic behavior of microscopically heterogeneous mate­ rials. This activity brings together a number of related themes, including: ( 1) the use of weak convergence as a rigorous yet general language for the discussion of macroscopic behavior; (2) interest in new types of questions, particularly the "G-closure problem," motivated in large part by applications of optimal control theory to structural optimization; (3) the introduction of new methods for bounding effective moduli, including one based on "com­ pensated compactness"; and (4) the identification of deep links between the analysis of microstructures and the multidimensional calculus of variations. This work has implications for many physical problems involving optimal design, composite materials, and coherent phase transitions. As a result it has received attention and support from numerous scientific communities, including engineering, materials science, and physics as well as mathematics. There is by now an extensive literature in this area. But for various reasons certain fundamental papers were never properly published, circu­ lating instead as mimeographed notes or preprints. Other work appeared in poorly distributed conference proceedings volumes. Still other work was published in standard books or journals, but written in Russian or French. The net effect is a sort of "gap" in the literature, which has made the subject unnecessarily difficult for newcomers to penetrate.