Topics in the Calculus of Variations

این گزارش برگرفته از مجموعه سخنرانی‌هایی است که در انستیتوی فناوری چین شرقی، نانجینگ، در سپتامبر 1992 ارائه شده است. هدف این کتاب این است که دانش‌آموزان تازه‌کار را با مشکلاتی در محاسبات متغیر که انتخاب شده‌اند آشنا کند. با پیروی از سلیقه شخصی من، اما با تلاش برای نشان دادن دو اصل اساسی در حساب تغییرات، که مسئله اساسی وجود راه‌حل‌های (تعمیم‌یافته) هستند و به مسئله نظم و ترتیب ارتباط نزدیک دارند. فصل اول به مطالعه انتگرال های متغیر برای توابع بردار اختصاص یافته است که با کار پیشگام موری [68] در دهه سی آغاز شد. ما روی مسائلی تمرکز می کنیم که در آن شرایط جانبی غیرخطی نیز بر طبقات توابع مقایسه پذیرفته شده اعمال می شود. به‌عنوان موارد خاص، ما نگاشت‌هایی را در نظر می‌گیریم که محدوده آن‌ها مجبور است در چند منیفولد ریمانی قرار گیرد، احتمالاً با مرز یا توابعی که ژاکوبین آنها باید کاملاً مثبت باشد. انتگرال های متغیر مورد بررسی معمولاً با توجه به گرادیان غیر درجه دوم هستند که بلافاصله ما را به کلاس هایی از سیستم های بیضی منحط هدایت می کند. اجازه دهید به برخی از مهم ترین کاربردها اشاره کنیم: • نقشه های هارمونیک p بین منیفولدهای ریمانی • سیستم های نابرابری های متغیر منحط • مشکلات مدل سازی در کشش غیرخطی. معمولاً با کار در فضاهای Sobolev مناسب، وجود راه‌حل‌های کلی‌شده نسبتاً آسان است (نگاه کنید به [7]) اما منجر به توابع پیشینی ناپیوسته می‌شود.

This report grew out of a series of lectures given at the East China Institute of Technology, Nanjing, during September 1992. The purpose of this book is to make beginning research students familiar with some problems in varia­ tional calculus which have been chosen following my personal taste but with the attempt to illustrate two basic principles in the calculus of variations which are the fundamental question of existence of (generalized) solutions and closely related the question of regularity. Chapter one is devoted to the study of variational integrals for vectorvalued functions which began with the pioneering work of Morrey [68] in the thirties. We concentrate on problems where also nonlinear side conditions are imposed on the classes of admissi­ ble comparison functions. As special cases we include mappings whose range is forced to lie in some Riemannian manifold possibly with boundary or functions whose Jacobian is required to be strictly positive. The variational integrals under consideration are typically nonquadratic with respect to the gradient which immediately leads us to classes of degenerate elliptic systems. Let us mention some of the most important applications: • p-harmonic maps between Riemannian manifolds • systems of degenerate variational inequalities • model problems in nonlinear elasticity. Usually by working in appropriate Sobolev spaces, the existence of gener­ alized solutions is rather easy to establish (see [7]) but leads to apriori dis­ continuous functions.