Topics in Interpolation Theory of Rational Matrix-valued Functions

یکی از مسائل اساسی درون یابی از دیدگاه ما، مسئله ساختن یک تابع گویا اسکالر است که اگر قطب ها و صفرهای آن با کثرت هایشان داده شوند. اگر کسی مطمئن شود که تابع در بی نهایت قطب یا صفر ندارد، فرمولی که این مشکل را حل می کند (1) است که در آن Zl، \" \" Z/ صفرهای داده شده با ضرب های داده شده nl، \" \" n هستند. / و Wb\" \" W قطب های p داده شده با چند برابر داده شده ml، . . . ,m و a یک عدد غیر صفر دلخواه است. p یک شرط ضروری و کافی آشکار برای حل‌پذیری این ساده‌ترین درونیابی pr-lern این است که Zj :f: wk(1~j~1, 1~k~p) و nl +. . . +n/ = ml +. . . +m' p دومین مشکل درون یابی که ما به آن علاقه مندیم، ساختن یک تابع ماتریس گویا از طریق صفرهای آن است که روی خط فرضی مدول 1 دارد. در حالتی که تابع اسکالر است، فرمولی که این مشکل را حل می کند یک بلاشک است. محصول، یعنی z z. )mi n u(z) = همه = l~ (2) J (Z+ Zj که در آن [o] = 1، و zj ها صفرهای داده شده با ضرب های داده شده mj هستند. در اینجا شرط لازم و کافی برای وجود چنین u(z) است. ) این است که zp :f: - Zq برای 1~ ]1، q~ n.

One of the basic interpolation problems from our point of view is the problem of building a scalar rational function if its poles and zeros with their multiplicities are given. If one assurnes that the function does not have a pole or a zero at infinity, the formula which solves this problem is (1) where Zl , " " Z/ are the given zeros with given multiplicates nl, " " n / and Wb" " W are the given p poles with given multiplicities ml, . . . ,m , and a is an arbitrary nonzero number. p An obvious necessary and sufficient condition for solvability of this simplest Interpolation pr- lern is that Zj :f: wk(1~ j ~ 1, 1~ k~ p) and nl +. . . +n/ = ml +. . . +m ' p The second problem of interpolation in which we are interested is to build a rational matrix function via its zeros which on the imaginary line has modulus 1. In the case the function is scalar, the formula which solves this problem is a Blaschke product, namely z z. )mi n u(z) = all = l~ (2) J ( Z+ Zj where [o] = 1, and the zj's are the given zeros with given multiplicities mj. Here the necessary and sufficient condition for existence of such u(z) is that zp :f: - Zq for 1~ ]1, q~ n.