Topics in Galois Fields

این مونوگراف ارائه‌ای مستقل از پایه‌های میدان‌های متناهی، از جمله بررسی دقیق بسته‌های جبری آنها ارائه می‌کند. همچنین موضوعات پیشرفته مهمی را که هنوز در کتاب‌های درسی یافت نمی‌شوند، پوشش می‌دهد: قضیه پایه نرمال اولیه، وجود عناصر اولیه در ابرصفحه‌های همبسته، و روش Niederreiter برای فاکتورگیری چند جمله‌ای در میدان‌های محدود.

ما ساده‌سازی می‌کنیم. و/یا شواهد واضح‌تر برای بسیاری از نتایج اساسی و رفتار با برخی از مطالب کلاسیک به شیوه‌ای نوآورانه. به ویژه، ما بر تأثیر متقابل بین نتایج حسابی و ساختاری تأکید می‌کنیم و جبرهای برلکمپ را به شیوه‌ای جدید معرفی می‌کنیم که درک عمیق‌تری از الگوریتم فاکتورسازی مشهور برلکمپ ارائه می‌دهد.

این کتاب زمینه‌ای کامل در این زمینه ارائه می‌کند. نظریه میدان محدود برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققان در ریاضیات. با توجه به تاکید آن بر جنبه های کاربردی و محاسباتی، برای خوانندگانی که در مهندسی اطلاعات و ارتباطات کار می کنند، به عنوان مثال، در پردازش سیگنال، نظریه کدگذاری، رمزنگاری یا علوم کامپیوتر نیز مفید است.

This monograph provides a self-contained presentation of the foundations of finite fields, including a detailed treatment of their algebraic closures. It also covers important advanced topics which are not yet found in textbooks: the primitive normal basis theorem, the existence of primitive elements in affine hyperplanes, and the Niederreiter method for factoring polynomials over finite fields.

We give streamlined and/or clearer proofs for many fundamental results and treat some classical material in an innovative manner. In particular, we emphasize the interplay between arithmetical and structural results, and we introduce Berlekamp algebras in a novel way which provides a deeper understanding of Berlekamp's celebrated factorization algorithm.

The book provides a thorough grounding in finite field theory for graduate students and researchers in mathematics. In view of its emphasis on applicable and computational aspects, it is also useful for readers working in information and communication engineering, for instance, in signal processing, coding theory, cryptography or computer science.