Topics in Extrinsic Geometry of Codimension-One Foliations

هندسه بیرونی ویژگی‌های شاخ و برگ‌ها را در منیفولدهای ریمانی توصیف می‌کند که می‌توان آن را در قالب دومین شکل بنیادی برگ‌ها بیان کرد. نویسندگان موضوعات هندسه بیرونی همدین-یکورق و برگ به یک گشتاور فنی دست یافته اند که به نتایج هندسی مهمی منجر می شود.

فرمول انتگرال، معرفی شده در فصل 1، برای مسائلی مانند: تجویز انحنای متوسط ​​بالاتر شاخ و برگ ها، به حداقل رساندن حجم و انرژی تعریف شده برای میدان های برداری یا صفحه روی منیفولدها مفید است. و وجود شاخ و برگ هایی که برگ های آنها از ویژگی های هندسی برخوردار است. فرمول های انتگرال از فرمول ریب برای شاخ و برگ های روی فرم های فضایی که فرم های کلاسیک را تعمیم می دهند، تولید می شود. برای توابع کمکی خاص، فرمول ها شامل تبدیل نیوتن عملگر وینگارتن می شوند.

موضوع اصلی این کتاب جریان هندسی بیرونی(EGF) است. بر روی منیفولدهای برگ‌دار، که ممکن است ابزاری برای تجویز خواص هندسی بیرونی برگ‌ها باشد. برای توسعه EGF، فرد به فرمول های متغیر نیاز دارد، که در فصل 2 نشان داده شده است، که بیانگر تغییر در مقادیر مختلف هندسی بیرونی یک شاخ و برگ ثابت تحت تغییرات برگی ساختار ریمانی منیفولد محیط است. فصل 3 یک مفهوم کلی از EGF را تعریف می کند و تکامل معیارهای ریمانی را در طول مسیر این جریان مورد مطالعه قرار می دهد (به عنوان مثال، نظریه وجود کوتاه مدت و یکتایی را توصیف می کند و حداکثر زمان وجود را تخمین می زند). برخی راه حل های خاص (به نام Extrinsic) راه حل های هندسی) EGF ارائه شده است و بسیار مورد توجه است، زیرا آنها ساختارهای ریمانی را با هندسه بسیار خاصی از برگ ها ارائه می دهند.

این کار برای کسانی است که به دیفرانسیل علاقه مند هستند. هندسه زیرمنیفولدها و شاخ و برگ های منیفولدهای ریمانی.

Extrinsic geometry describes properties of foliations on Riemannian manifolds which can be expressed in terms of the second fundamental form of the leaves. The authors of Topics in Extrinsic Geometry of Codimension-OneFoliations achieve a technical tour de force, which will lead to important geometric results.

The Integral Formulae, introduced in chapter 1, is a useful for problems such as: prescribing higher mean curvatures of foliations, minimizing volume and energy defined for vector or plane fields on manifolds, and existence of foliations whose leaves enjoy given geometric properties. The Integral Formulae steams from a Reeb formula, for foliations on space forms which generalize the classical ones. For a special auxiliary functions the formulae involve the Newton transformations of the Weingarten operator.

The central topic of this book is Extrinsic Geometric Flow (EGF) on foliated manifolds, which may be a tool for prescribing extrinsic geometric properties of foliations. To develop EGF, one needs Variational Formulae, revealed in chapter 2, which expresses a change in different extrinsic geometric quantities of a fixed foliation under leaf-wise variation of the Riemannian Structure of the ambient manifold. Chapter 3 defines a general notion of EGF and studies the evolution of Riemannian metrics along the trajectories of this flow(e.g., describes the short-time existence and uniqueness theory and estimate the maximal existence time).Some special solutions (called Extrinsic Geometric Solutions) of EGF are presented and are of great interest, since they provide Riemannian Structures with very particular geometry of the leaves.

This work is aimed at those who have an interest in the differential geometry of submanifolds and foliations of Riemannian manifolds.