Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis

موضوع این متن رابطه بین ویژگی های ماتریس های Toeplitz بی نهایت ao a_I a_2 al ao a_I a2 al ao و بخش های متناهی بزرگ آنها است این موضوع بسیار بزرگ و حتی تمام نشدنی است و بنابراین باید خود را به چند مورد محدود کنیم. مشکلات مشخص در اینجا ما توجه خود را بر روی ارزش های منحصر به فرد متمرکز خواهیم کرد. مقادیر مفرد An مقادیر ویژه (A~An)I/2 هستند. خصوصیات مقادیر منفرد An برای n ثابت (یا همانطور که در قضایای به اصطلاح درهم آمیخته، برای برخی n متوالی) در جبر خطی مطالعه می شود. مشکل تعیین مقادیر تکی An برای n بزرگ (مثلاً n = 700) یک تجارت جبر خطی عددی است. رفتار 23 مقدار منفرد An برای n --+ 00 (یا مثلاً برای n = 10) نگرانی جبر خطی مجانبی است. در نهایت، بررسی خواص ماتریس نامتناهی A یکی از وظایف تحلیل تابعی است. برای اینکه متوجه شوید این متن در مورد چیست، به چند سوال اشاره می کنیم که بررسی خواهیم کرد. پیشگفتار viii سوال 1. آیا کوچکترین مقدار مفرد 81 (An) از صفر به عنوان n -t oo دور می ماند؟ زیرا این سؤال این است که آیا هنجارهای IIA;;111 برای همه n های به اندازه کافی بزرگ به طور یکنواخت محدود می شوند.

The subject of this text is the relation between the properties of infinite Toeplitz matrices ao a_I a_2 al ao a_I a2 al ao and their large finite sections This is very big and even inexhaustible subject, and therefore we must limit ourselves to a few concrete problems here. We will focus our attention on singular values. The singular values of An are the eigenvalues of (A~An)I/2. The properties of the singular values of An for fixed n (or, as in so-called interlacing theorems, for some consecutive n) are studied in linear algebra. The problem of determining the singular values of An for large n (say n = 700) is a business of numerical linear algebra. The behavior of the singular 23 values of An for n --+ 00 (or, say, for n = 10 ) is a concern of asymptotic linear algebra. Finally, the investigation of the properties of the infinite matrix A is a task of functional analysis. To get an idea of what this text is about, we cite a few questions we will consider. Preface viii Question 1. Does the smallest singular value 81 (An) stay away from zero as n -t oo? Because this is the question whether the norms IIA;;111 are uniformly bounded for all sufficiently large n.