Theory of U-Statistics

نظریه آمار U به کار بنیادی هوفدینگ [1] برمی گردد که در آن او قضیه حد مرکزی را اثبات کرد. در طول چهل سال گذشته، علاقه به این دسته از متغیرهای تصادفی به طور دائم در حال افزایش بوده است و بنابراین، شاخه جدید به شدت در حال توسعه نظریه احتمال شکل گرفته است. آمار U یکی از اشیاء جهانی تئوری احتمالات مدرن جمع است. از یک طرف، آنها «از نظر جبری» پیچیده‌تر از مجموع متغیرها و بردارهای تصادفی مستقل هستند، و از سوی دیگر، آنها حاوی عناصر اساسی وابستگی هستند که خود را در ویژگی‌های مارتینگل نشان می‌دهند. علاوه بر این، آمار U به عنوان یک موضوع از آمار ریاضی یکی از مکان های اصلی در مسائل آماری را به خود اختصاص می دهد. توسعه تئوری آمار U با تأثیر نظریه کلاسیک جمع متغیرهای تصادفی مستقل مشخص می شود: قانون اعداد بزرگ، قضیه حد مرکزی، اصل تغییر ناپذیری، و قانون لگاریتم تکراری که ما اثبات کردیم، تخمین نرخ همگرایی و غیره به دست آمد.

The theory of U-statistics goes back to the fundamental work of Hoeffding [1], in which he proved the central limit theorem. During last forty years the interest to this class of random variables has been permanently increasing, and thus, the new intensively developing branch of probability theory has been formed. The U-statistics are one of the universal objects of the modem probability theory of summation. On the one hand, they are more complicated "algebraically" than sums of independent random variables and vectors, and on the other hand, they contain essential elements of dependence which display themselves in the martingale properties. In addition, the U -statistics as an object of mathematical statistics occupy one of the central places in statistical problems. The development of the theory of U-statistics is stipulated by the influence of the classical theory of summation of independent random variables: The law of large num­ bers, central limit theorem, invariance principle, and the law of the iterated logarithm we re proved, the estimates of convergence rate were obtained, etc.